جواب معادله مثلثاتی در یک بازه: زیرمجموعه‌ای از جواب‌های کلی که در بازهٔ عددی مشخصی قرار می‌گیرند.

یافتن ریشه‌های یک معادله مثلثاتی در بازهٔ مشخص با استفاده از جواب کلی و غربالگری

در این مقاله یاد می‌گیرید که چگونه جواب‌های کلی معادلات مثلثاتی را به دست آورید و سپس از میان آن‌ها، فقط جواب‌هایی را که در یک بازهٔ عددی مشخص قرار می‌گیرند، انتخاب کنید. با مثال‌های گام‌به‌گام از معادلات سینوس، کسینوس و تانژانت، روش غربالگری بر اساس پارامتر k و تعیین بازهٔ نهایی را فرا خواهید گرفت.

نکته کلیدی

برای تبدیل جواب کلی به جواب در بازه، کافی است به ازای مقادیر مختلف k (مثل ... , -2, -1, 0, 1, 2, ...) عبارت جواب کلی را محاسبه کنیم و آن دسته از مقادیری که درون بازه قرار می‌گیرند را به عنوان جواب نهایی انتخاب کنیم.

$x = \arcsin a + 2k\pi$

$x = \pi - \arcsin a + 2k\pi$

مثال عملی: معادلهٔ $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ را در بازهٔ $[0, 2\pi)$ حل کنید.

گام ۱: پیدا کردن جواب کلی
$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. بنابراین:
$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ یا $x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

گام ۲: قرار دادن مقادیر مختلف k
برای $k = 0$: $x = \frac{\pi}{3}$ و $x = \frac{2\pi}{3}$ (هر دو در بازه هستند).
برای $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33$ (بزرگتر از $2\pi$) و $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$ (خارج از بازه).
برای $k = -1$: مقادیر منفی می‌دهد که خارج از بازه هستند.
پاسخ نهایی در بازهٔ $[0, 2\pi)$ :$\left\{ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}$.

تابع	جواب کلی	تعداد جواب در بازهٔ $[0, 2\pi)$
سینوس	$x = \alpha + 2k\pi$ یا $x = (\pi - \alpha) + 2k\pi$	$0$ یا $1$ یا $2$
کسینوس	$x = \pm \alpha + 2k\pi$	$0$ یا $1$ یا $2$
تانژانت	$x = \alpha + k\pi$	$0$ یا $1$ یا $2$ (معمولاً $2$ اگر بازه باز نباشد)

مثال عینی: جواب‌های معادلهٔ $\cos x = -\frac{1}{2}$ را در بازهٔ $[-\pi, \pi]$ بیابید.

حل:$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$. پس جواب کلی: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

• $k = 0$: $x = \frac{2\pi}{3}$ و $x = -\frac{2\pi}{3}$ (هر دو در بازهٔ $[-\pi, \pi]$ قرار دارند).
• $k = 1$: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi$ (بیشتر از $\pi$) و $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$ (بیشتر از $\pi$) – خارج.
• $k = -1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi$ (کمتر از $-\pi$) و $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi$ (کمتر از $-\pi$) – خارج.

پاسخ نهایی:$\left\{ -\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}$.

۱) چرا گاهی جواب کلی یک معادله مثلثاتی به صورت $x = \alpha + 2k\pi$ نوشته می‌شود و گاهی به صورت $x = \alpha + k\pi$؟

پاسخ: به دلیل تناوب توابع. تابع سینوس و کسینوس دارای تناوب $2\pi$ هستند، بنابراین جواب آن‌ها هر $2\pi$ واحد تکرار می‌شود. اما تابع تانژانت دارای تناوب $\pi$ است، به همین دلیل در جواب کلی تانژانت، $k\pi$ ظاهر می‌شود نه $2k\pi$.

۲) اگر بازه به صورت $[0, \pi)$ باشد، تعداد جواب‌های معادلهٔ $\tan x = 0$ چند است؟

پاسخ: جواب کلی $\tan x = 0$ برابر $x = k\pi$ است. در بازهٔ $[0, \pi)$ فقط $x = 0$ قرار می‌گیرد (چون $x = \pi$ جزو بازه نیست). بنابراین تعداد جواب‌ها برابر $1$ است.

۳) چگونه می‌توان بدون محاسبهٔ تک تک مقادیر k، محدودهٔ k را برای یک بازه مشخص تعیین کرد؟

پاسخ: با حل نامساوی. فرض کنید جواب کلی $x = \alpha + 2k\pi$ و بازه $[L, U]$ است. آن‌گاه $L \le \alpha + 2k\pi \le U$ را برای $k$ حل می‌کنیم: $\frac{L - \alpha}{2\pi} \le k \le \frac{U - \alpha}{2\pi}$. سپس $k$های صحیح در این بازه را مشخص می‌کنیم. این روش سریع‌تر و دقیق‌تر است.

در این مقاله یاد گرفتیم که جواب کلی معادلات مثلثاتی بر حسب پارامتر k نوشته می‌شود و برای یافتن جواب در یک بازهٔ مشخص، کافی است مقادیر مختلف k (صحیح) را در جواب کلی قرار دهیم و آن دسته از مقادیری که در بازه می‌افتند را انتخاب کنیم. همچنین با روش حل نامساوی آشنا شدیم که به کمک آن می‌توان محدودهٔ k را سریعاً تعیین کرد. این تکنیک در حل مسائل پیشرفته‌تر مثلثات و کاربردهای آن در فیزیک و مهندسی بسیار مفید است.