انبساط عمودی نمودار تابع: ضرب عرض نقاط در عددی بزرگتر از یک
تعریف انبساط عمودی و نقش ضریب k
در تحلیل توابع، یکی از تبدیلهای پایهای روی نمودار، انبساط عمودی (یا کشیدگی قائم) است. فرض کنید تابع $y = f(x)$ را داریم. اگر تمام نقاط آن را به تابع جدید $y = k \cdot f(x)$ با $k > 1$ نگاشت کنیم، آنگاه عرض (مقدار y) هر نقطه در عدد ثابت k ضرب میشود. از آنجایی که عرض نقاط نسبت به محور x عمودی است، نمودار در راستای قائم کشیده میشود. برای نمونه، نقطه $(x_0, y_0)$ روی نمودار $f$ به نقطه $(x_0, k y_0)$ روی نمودار جدید تبدیل میشود. توجه کنید که طول نقاط (مختصات x) بدون تغییر باقی میماند.
به عنوان یک مثال ملموس، تابع ساده $f(x) = x^2$ (سهمی به رأس مبدأ) را در نظر بگیرید. اگر $k = 2$ را انتخاب کنیم، تابع جدید $y = 2x^2$ خواهد شد. برای $x = 1$، مقدار $y$ از 1 به 2 میرسد و برای $x = 2$، مقدار از 4 به 8 افزایش مییابد. در نتیجه، نمودار جدید در مقایسه با نمودار اصلی باریکتر دیده نمیشود، بلکه تنها در جهت عمودی کشیده میشود. این کشیدگی متناسب با فاصله از محور x است: نقاط دورتر از محور، جابجایی عمودی بزرگتری تجربه میکنند.
مقایسه انبساط عمودی با سایر تبدیلهای عمودی
دانشآموزان اغلب انبساط عمودی را با جابجایی عمودی یا انقباض عمودی اشتباه میگیرند. در جدول زیر تفاوتهای کلیدی این تبدیلها آورده شده است:
| نوع تبدیل | فرم تابعی | تأثیر روی عرض | نمونه برای f(x)=x^2 با k=2 |
|---|---|---|---|
| انبساط عمودی | $y = k f(x), k>1$ | ضرب عرض در k (کشیدگی) | $y = 2x^2$ |
| انقباض عمودی | $y = k f(x), 0 | ضرب عرض در k (فشردگی) | $y = 0.5x^2$ |
| جابجایی عمودی | $y = f(x) + c$ | افزودن مقدار ثابت به عرض | $y = x^2 + 2$ |
نکته ظریف: در انبساط عمودی، برخلاف جابجایی عمودی، شکل کلی منحنی تغییر میکند (شیب خطوط و انحنای نمودار تغییر میکند)، اما نوع تقارن (اگر وجود داشته باشد) و محل برخورد با محور x (طولهایی که در آنها $f(x)=0$) ثابت میمانند، زیرا صفر ضرب در k باز هم صفر است. برای نمونه، ریشههای تابع تحت انبساط عمودی تغییری نمیکنند - این ویژگی مهمی است که به یافتن سریع نقاط ثابت کمک میکند.
کاربرد عملی: مدلسازی رشد و مقیاسدهی در مسائل واقعی
فرض کنید در یک آزمایش فیزیک، رابطه میان جابجایی و زمان برای یک جسم در حال سقوط آزاد به صورت $d(t) = 4.9 t^2$ باشد (تقریب خطی شتاب گرانش). اگر آزمایش را در سیاره دیگری با شتاب گرانش دو برابر انجام دهیم، معادله جدید $d(t) = 9.8 t^2$ خواهد شد که دقیقاً k=2 برابر تابع قبلی است. نمودار جابجایی-زمان تحت یک انبساط عمودی با ضریب 2 قرار میگیرد. این مثال نشان میدهد که چگونه تغییر در یک پارامتر فیزیکی (شتاب گرانش) معادل اعمال یک انبساط عمودی بر نمودار تابع است. به همین ترتیب، در اقتصاد، اگر تابع سود یک شرکت به صورت $P(x) = R(x) - C(x)$ باشد، افزایش k برابری قیمت تمام شده (تحت شرایط خاص) منجر به تابع سود جدید $k \cdot P(x)$ میگردد که همان انبساط عمودی نمودار سود است.
چالشهای مفهومی و پرسشهای رایج
پاسخ: ضرب شدن در k برای عرض (مختصات y) اتفاق میافتد. طول نقاط (مختصات x) بدون تغییر باقی میماند. جمله «انبساط عمودی» به خوبی نشان میدهد که تغییر در راستای قائم (عمودی) رخ میدهد.
پاسخ: خیر. در چنین حالتی به آن انقباض عمودی میگوییم، زیرا عرض نقاط کوچکتر میشود و نمودار به سمت محور x فشرده میگردد. شرط اصلی انبساط عمودی دقیقاً $k > 1$ است.
پاسخ: بله، نقاطی که روی محور x قرار دارند (عرض برابر صفر) جابجا نمیشوند، زیرا $k \times 0 = 0$. همچنین اگر تابع در نقطهای مقداری مانند c داشته باشد که $k c = c$ تنها در صورتی که c=0 یا k=1 که اینجا نیست. بنابراین تنها نقاط با عرض صفر بدون تغییر میمانند.
راهنمای گامبهگام رسم نمودار پس از انبساط عمودی
برای ترسیم نمودار تابع $y = k f(x)$ با $k > 1$ از روی نمودار $y = f(x)$، مراحل زیر را دنبال کنید:
- تعیین نقاط کلیدی: نقاط مهمی مانند ریشهها (محل برخورد با محور x)، رأسها، نقاط ماکزیمم و مینیمم محلی، و نقاط عطف را روی نمودار اصلی مشخص کنید.
- ضرب عرض در k: برای هر یک از نقاط کلیدی، مختصات y را در k ضرب کنید. مختصات x را همانطور که هست نگه دارید.
- انتقال نقاط جدید: نقاط بهدستآمده را روی صفحه مختصات پیاده کنید.
- اتصال نقاط: با توجه به شکل اصلی نمودار (خط راست، سهمی، منحنی سینوسی و ...) نقاط جدید را با یک منحنی هموار یا خطوط راست به هم وصل کنید.
به عنوان مثال عملی، منحنی $f(x) = \sin x$ را در نظر بگیرید. با انتخاب $k = 3$، نمودار $y = 3\sin x$ بهدست میآید. دامنه نوسان از ۱ به ۳ افزایش مییابد، ولی دوره تناوب (طول موج) بدون تغییر میماند. این یک کاربرد رایج در فیزیک امواج و پردازش سیگنال است.
پاورقی
1 انبساط عمودی (Vertical Stretch): تبدیلی که در آن تمام مختصات y نقاط نمودار در عدد ثابت بزرگتر از یک ضرب میشوند و نمودار در جهت عمودی کشیده میشود.
2 انقباض عمودی (Vertical Compression): تبدیلی که در آن مختصات y نقاط در عددی بین صفر و یک ضرب میشوند و نمودار به سمت محور x فشرده میگردد.
3 جابجایی عمودی (Vertical Shift): تبدیلی که در آن مقدار ثابتی به مختصات y تمام نقاط افزوده (یا کسر) میشود و نمودار بدون تغییر شکل، به سمت بالا یا پایین منتقل میگردد.
4 عرض یک نقطه (Ordinate): مقدار y یا فاصله قائم نقطه از محور افقی (x) در دستگاه مختصات دکارتی.
