تبدیل $ y = kf(x) $: ضرب عرضها در عدد ثابت $k$
مفهوم اصلی ضریب $k$ و عرض نقاط
فرض کنید نمودار تابع $ y = f(x) $ را داریم. هر نقطه روی این نمودار با مختصات $(x, y)$ مشخص میشود که در آن $ y = f(x) $ است. تبدیل $ y = k \cdot f(x) $ به این معناست که مقدار $y$ (همان عرض نقطه) در عدد ثابت $k$ ضرب میشود، در حالی که مقدار $x$ (طول نقطه) بدون تغییر میماند.
به عبارت دیگر، اگر نقطهٔ $(a, b)$ روی نمودار $ y = f(x) $ قرار داشته باشد $(b = f(a))$، آنگاه نقطهٔ $(a, k \cdot b)$ روی نمودار جدید $ y = k f(x) $ قرار خواهد گرفت. این تبدیل تنها روی ابعاد عمودی نمودار اثر میگذارد و شکل کلی خم را از نظر افقی دستنخورده نگه میدارد.
رفتار تبدیل برای مقادیر مختلف $k$
عدد $k$ میتواند هر عدد حقیقی باشد. بسته به مقدار آن، سه حالت اصلی پیش میآید:
- حالت اول — $k \gt 1$ (کشش عمودی): تمام عرضها در عددی بزرگتر از یک ضرب میشوند. در نتیجه نمودار در جهت عمودی کش میآید و بلندتر میشود.
- حالت دوم — $0 \lt k \lt 1$ (فشردگی عمودی): عرضها در کسری کوچکتر از یک ضرب میشوند. نمودار به سمت محور $x$ها فشرده میشود و کوتاهتر میگردد.
- حالت سوم — $k \lt 0$ (بازتاب عمودی به همراه کشش/فشردگی): علامت منفی باعث میشود نمودار نسبت به محور $x$ها آینه شود. مقدار مطلق $|k|$ تعیینکنندهٔ میزان کشش یا فشردگی است.
| محدودهٔ $k$ | نام تبدیل | اثر بر عرض نقطهٔ $(a,b)$ | مثال عددی ($k=2$ یا $k=0.5$) |
|---|---|---|---|
| $k \gt 1$ | کشش عمودی | $(a, b) \to (a, k \cdot b)$ با $k b \gt b$ | $(3, 4) \to (3, 8)$ |
| $0 \lt k \lt 1$ | فشردگی عمودی | $(a, b) \to (a, k \cdot b)$ با $0 \lt k b \lt b$ | $(3, 4) \to (3, 2)$ |
| $k \lt 0$ | بازتاب عمودی + کشش/فشردگی به اندازهٔ $|k|$ | $(a, b) \to (a, k \cdot b)$ که علامت عرض عوض میشود | $k=-2$: $(3, 4) \to (3, -8)$ |
گامبهگام با مثالهای عینی
مثال ۱ (تابع خطی): تابع $ f(x) = x $ را در نظر بگیرید. نمودار آن خطی با شیب $1$ است. تبدیل $ y = 3 f(x) = 3x $ را اعمال میکنیم. نقطهٔ $(2, 2)$ روی نمودار اصلی به $(2, 6)$ تبدیل میشود. خط جدید دارای شیب $3$ است و سه برابر بلندتر شده است. اگر $k = \frac{1}{2}$ را انتخاب کنیم، $ y = 0.5 x $ به دست میآید که شیب آن نصف شده و نمودار فشرده میشود.
مثال ۲ (تابع درجه دوم): فرض کنید $ f(x) = x^2 $ (سهمی به رأس مبدأ). تبدیل $ y = 2 x^2 $ را بررسی کنید. نقطهٔ $(1, 1)$ به $(1, 2)$ میرود و نقطهٔ $(2, 4)$ به $(2, 8)$ تبدیل میشود. دهانهٔ سهمی باریکتر میشود (کشش عمودی). اگر $ k = 0.25 $ باشد، $ y = 0.25 x^2 $ داریم و نقطهٔ $(2, 4)$ به $(2, 1)$ میرسد؛ سهمی پهنتر میشود (فشردگی عمودی).
مثال ۳ (تابع قدرمطلق با $k$ منفی): تابع $ f(x) = |x| $ را در نظر بگیرید. تبدیل $ y = -2|x| $ چه اثری دارد؟ نقطهٔ $(1, 1)$ به $(1, -2)$ میرود. نمودار اصلی که در نیمصفحهٔ بالایی بود، ابتدا به اندازهٔ ضریب $2$ کشیده میشود و سپس نسبت به محور $x$ آینه میگردد و در نیمصفحهٔ پایینی قرار میگیرد.
کاربرد عملی در مسائل و تحلیل نمودارها
در بسیاری از مسائل فیزیک و اقتصاد، تبدیل $ y = k f(x) $ ظاهر میشود. برای نمونه، فرض کنید تابع $ f(t) $ نشاندهندهٔ دما بر حسب زمان باشد. اگر بخواهیم مقیاس دما را از سلسیوس به کلوین تبدیل کنیم، باید یک مقدار ثابت اضافه کنیم (که تبدیل عمودی از نوع انتقال است). اما اگر بخواهیم دما را به فارنهایت تبدیل کنیم، ضربی به نام $k = 1.8$ ظاهر میشود: $ F = 1.8 C + 32 $. بخش $1.8 C$ دقیقاً همان تبدیل $k f(x)$ است (به اضافهٔ یک انتقال عمودی).
مثال دیگر در اقتصاد: اگر تابع سود یک شرکت به صورت $ P(x) $ باشد و شرکت تصمیم بگیرد تمام سودها را دو برابر کند (مثلاً با دو برابر شدن قیمت فروش بدون تغییر هزینهها)، تابع جدید $ 2P(x) $ خواهد شد. در تحلیل نمودارها، تشخیص این تبدیل به شما کمک میکند بدون محاسبهٔ نقطهبهنقطه، شکل نهایی را پیشبینی کنید.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. حاصلضرب یک عدد حقیقی در خروجی یک تابع، باز هم یک خروجی منحصربهفرد برای هر $x$ تولید میکند. بنابراین $ k f(x) $ همواره یک تابع است. تنها نکته این است که اگر $k = 0$ باشد، تابع ثابت $ y = 0 $ به دست میآید.
پاسخ: در $ y = k f(x) $ ضریب $k$ روی عرض (خروجی) اثر میگذارد و تبدیل عمودی است. اما در $ y = f(kx) $ ضریب $k$ روی ورودی تابع اثر میگذارد و باعث کشش یا فشردگی افقی میشود. بسیاری از دانشآموزان این دو را اشتباه میگیرند.
پاسخ: در این حالت $|k| \lt 1$ است، بنابراین ابتدا فشردگی عمودی رخ میدهد (نمودار کوتاهتر میشود) و سپس به دلیل منفی بودن $k$، نمودار نسبت به محور $x$ آینه میشود. نتیجه یک نمودار فشرده و بازتابیافته در نیمصفحهٔ مخالف است.
پاورقی
2 تبدیل عمودی (vertical transformation): تغییری در نمودار تابع که تنها بر مؤلفهٔ عمودی نقاط اثر میگذارد.
3 بازتاب نسبت به محور $x$ (reflection across the x-axis): تبدیلی که علامت همهٔ عرضها را عوض میکند و نمودار را قرینهٔ اصلی نسبت به محور افقی میسازد.
4 نقاط ثابت (fixed points): نقاطی روی نمودار که پس از اعمال تبدیل بدون تغییر میمانند. در تبدیل $y = k f(x)$، نقاطی با عرض صفر ثابت هستند.
