تابع یکبهیک (تابع تزریقی)؛ تابعی که دو عضو متفاوت دامنه را به یک عضو مشترک نبرد
تعریف پایهای و ویژگیهای تابع یکبهیک
در ریاضیات، یک تابع1 زمانی یکبهیک یا تزریقی نامیده میشود که هر عضو از مجموعهی ورودی (دامنه) به عضوی منحصربهفرد در مجموعهی خروجی (برد) نگاشت شود. به عبارت دیگر، اگر $x_1$ و $x_2$ دو عضو متفاوت از دامنه باشند، آنگاه $f(x_1) \neq f(x_2)$.
ویژگی اصلی تابع یکبهیک، یکتایی تصویر برای هر ورودی متمایز است. چنین خاصیتی در بسیاری از شاخههای ریاضی مانند جبر، آنالیز و نظریهی اعداد کاربرد دارد. برای نمونه، فرض کنید $f(x)=2x+3$ را روی اعداد حقیقی در نظر بگیرید. اگر $x_1\neq x_2$ باشد، داریم $2x_1+3 \neq 2x_2+3$. این تابع یکبهیک است.
در نقطهی مقابل، تابع $f(x)=x^2$ روی اعداد حقیقی یکبهیک نیست، زیرا $f(2)=4$ و $f(-2)=4$، یعنی دو عضو متفاوت دامنه ($2$ و $-2$) به یک خروجی مشترک ($4$) رسیدهاند.
| نوع تابع | شرط اصلی | مثال |
|---|---|---|
| یکبهیک (تزریقی) | هر تصویر منحصربهفرد است | $f(x)=3x-1$ |
| غیر یکبهیک | دستکم دو ورودی تصویر برابر دارند | $g(x)=|x|$ |
روشهای تشخیص تابع تزریقی: آزمون خط افقی و بررسی جبری
برای تشخیص یکبهیک بودن یک تابع، دو روش اصلی وجود دارد. روش نخست که به ویژه برای توابع با نمودار پیوسته مفید است، آزمون خط افقی نام دارد. در این روش، اگر بتوان خطی موازی محور $x$ رسم کرد که نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن تابع یکبهیک نیست. در مقابل، اگر هر خط افقی حداکثر یک بار نمودار را قطع کند، تابع تزریقی است.
روش دوم، بررسی جبری (یا روش اثبات مستقیم) است. برای این کار، کافی است فرض کنیم $f(x_1)=f(x_2)$ و سپس نشان دهیم که از این تساوی نتیجه میشود $x_1=x_2$. اگر بتوان چنین نتیجهای گرفت، تابع یکبهیک است. این روش برای توابعی مانند توابع خطی، توانی با فرض محدودیت بر دامنه، و توابع گویا کاربرد دارد.
کاربرد عملی و مثال عینی از توابع یکبهیک در زندگی روزمره
مفهوم تابع یکبهیک در موقعیتهای روزمره نیز دیده میشود. برای نمونه، کد ملی هر فرد را در نظر بگیرید. اگر هر شهروند یک کد ملی منحصربهفرد داشته باشد، تابعی از مجموعهی افراد به مجموعهی کدهای ملی تعریف میشود که یکبهیک است؛ زیرا هیچ دو فردی کد ملی یکسان ندارند. همچنین در سیستمهای رمزنگاری، توابع یکبهیک نقش مهمی ایفا میکنند تا رمزگشایی معکوس به طور یکتایی انجام شود.
مثال دیگر: تابعی که شمارهی دانشآموزی هر دانشآموز را به شمارهی صندلی او در کلاس مرتبط میکند. اگر هیچ دو دانشآموزی روی یک صندلی ننشینند (هر صندلی حداکثر یک صندلینشین داشته باشد)، آنگاه این تابع یکبهیک است. در حالت مخالف اگر قرار باشد دو دانشآموز روی یک صندلی بنشینند، آن تابع دیگر تزریقی نخواهد بود.
نقش دامنه در یکبهیک بودن؛ محدود کردن دامنه برای کسب خاصیت تزریقی
گاهی یک تابع روی کل اعداد حقیقی یکبهیک نیست، اما با محدود کردن دامنه میتوان آن را به یک تابع تزریقی تبدیل کرد. برای مثال تابع $f(x)=x^2$ روی $\mathbb{R}$ یکبهیک نیست، اما اگر دامنه را به $x \ge 0$ محدود کنیم، تبدیل به یک تابع یکبهیک میشود. به همین دلیل، در مسائل ریاضی همواره باید به دامنهی تابع توجه داشت.
| تابع | دامنه | یکبهیک؟ |
|---|---|---|
| $f(x)=x^2$ | تمام اعداد حقیقی | خیر |
| $f(x)=x^2$ | $x \ge 0$ | بله |
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر، تابع ثابت به هیچ وجه یکبهیک نیست، زیرا تمام اعضای دامنه (هر تعداد که باشند) به یک عضو مشترک در برد نگاشت میشوند و شرط اصلی تابع تزریقی نقض میشود.
پاسخ: بله. اگر $\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}$ باشد، با ضرب متقابل داریم $x_1=x_2$. پس تابع یکبهیک است.
پاسخ: یک تابع، وارونپذیر2 است اگر و تنها اگر یکبهیک باشد (همچنین پوشا بودن در وارونپذیری کامل نقش دارد اما شرط لازم اولیه، یکبهیک بودن است). برای دبیرستان، معمولاً تأکید میشود که تابع وارون تنها برای توابع یکبهیک تعریف میشود.
پاورقی
1 تابع (Function): رابطهای است بین دو مجموعه که هر عضو از مجموعهی اول (دامنه) را دقیقاً به یک عضو از مجموعهی دوم (برد) نسبت میدهد.
2 وارونپذیر (Invertible): تابعی که بتوان برای آن تابعی مانند $f^{-1}$ پیدا کرد به طوری که ترکیب تابع با وارون آن به تابع همانی منجر شود.
