شناخت فرمول $ \cos 2\alpha $ بر پایه تفاضل مربعها: $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
ریشهیابی فرمول تفاضل مربعها در دایره مثلثاتی
فرمول $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ از قاعده جمع زوایا1 برای کسینوس نشأت میگیرد. میدانیم که برای هر دو زاویه $ a $ و $ b $ داریم: $ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $. اگر $ a = b = \alpha $ قرار دهیم، مستقیماً به رابطه مورد نظر میرسیم:
برای یک زاویه نمونه مانند $ \alpha = 30^\circ $ داریم: $ \cos 60^\circ = 0.5 $ از سوی دیگر $ \cos^2 30^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $ و $ \sin^2 30^\circ = (\frac12)^2 = \frac14 $ بنابراین تفاضل آنها برابر $ \frac{3}{4} - \frac14 = \frac12 = 0.5 $ است که همخوانی کامل دارد.
سه شکل معادل برای $ \cos 2\alpha $ و کاربرد هر کدام
با استفاده از اتحاد مثلثاتی پایه $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $ میتوان فرمول تفاضل مربعها را به دو شکل دیگر نیز نوشت که در مسائل مختلف بسیار مفید هستند:
- شکل اول (بر حسب کسینوس):$ \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 $
- شکل دوم (بر حسب سینوس):$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha $
برای نمونه، اگر مقدار $ \cos \alpha $ مشخص باشد، شکل اول بهکار میرود و اگر $ \sin \alpha $ معلوم باشد، شکل دوم مناسبتر است.
| شکل فرمول | عبارت ریاضی | موقعیت مناسب برای استفاده |
|---|---|---|
| تفاضل مربعها | $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $ | زمانی که هر دو نسبت $ \cos \alpha $ و $ \sin \alpha $ را داریم |
| بر حسب کسینوس | $ 2\cos^2 \alpha - 1 $ | حذف $ \sin \alpha $ در معادلات |
| بر حسب سینوس | $ 1 - 2\sin^2 \alpha $ | حذف $ \cos \alpha $ در انتگرالها و معادلات |
کاربرد عملی: حل معادله مثلثاتی با $ \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $
فرض کنید معادله $ \cos 2x = \sin x $ را در بازه $ [0, 2\pi) $ میخواهیم حل کنیم. با استفاده از شکل دوم فرمول داریم:
این یک معادله درجه دوم بر حسب $ \sin x $ است. با حل آن: $ \sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} $. بنابراین $ \sin x = \frac12 $ یا $ \sin x = -1 $. جوابها در بازه مورد نظر: $ x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2} $. این مثال نشان میدهد که چگونه فرمول تفاضل مربعها به سادهسازی معادلات کمک میکند.
چالشهای مفهومی
خیر، این هویت مثلثاتی برای همه زوایای حقیقی (و حتی مختلط) برقرار است. زیرا از قاعده جمع زوایا که همواره درست است، نتیجه میشود. برای زاویه $ \alpha = 120^\circ $ نیز میتوان آزمایش کرد: $ \cos 240^\circ = -0.5 $ و $ \cos^2 120^\circ - \sin^2 120^\circ = (-\frac12)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac14 - \frac34 = -0.5 $.
کاملاً معادل هستند اما شکل دوم در محاسباتی که فقط $ \cos \alpha $ مشخص است، مستقیمتر به کار میرود. همچنین در اثبات هویتهای دیگر مانند $ \cos 3\alpha $ به فرم کسینوسی نیاز داریم.
بله. روی دایره واحد، نقطه متناظر با زاویه $ \alpha $ دارای مختصات $ (\cos \alpha, \sin \alpha) $ است. با چرخش به اندازه $ \alpha $ اضافه و استفاده از فاصله نقطه جدید تا محورها، به همان رابطه تفاضل مربعها میرسیم.
جمعبندی
پاورقی
1 قاعده جمع زوایا (Angle Addition Formulas): روابطی که توابع مثلثاتی مجموع دو زاویه را به توابع همان زاویهها پیوند میدهند، مانند $ \cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b $.
