شرط یکبهیک شدن توابع مثلثاتی در بازههای محدود
۱. تعریف تابع یکبهیک و بررسی ماهیت ادواری توابع مثلثاتی
تابع یکبهیک1 تابعی است که برای هر دو ورودی متفاوت $x_1 \neq x_2$، خروجیهای متفاوت $f(x_1) \neq f(x_2)$ داشته باشد. توابع مثلثاتی پایه یعنی $\sin x$، $\cos x$ و $\tan x$ به دلیل تناوبی2 بودن بر روی $\mathbb{R}$، یکبهیک نیستند. برای نمونه، مقادیر $\sin 0 = 0$ و $\sin \pi = 0$ با وجود دو ورودی متفاوت، یکسان هستند.
برای رفع این مشکل، دامنهٔ تابع را به بازهای محدود میکنیم که تابع روی آن کاملاً صعودی یا نزولی باشد. این بازهها «بازهٔ اصلی»3 نامیده میشوند. در ادامه هر یک از سه تابع مهم را بررسی میکنیم.
| تابع | بازهٔ استاندارد یکبهیک | رفتار در بازه | وارون متناظر |
|---|---|---|---|
| $y = \sin x$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ | صعودی اکید | $\arcsin x$ |
| $y = \cos x$ | $[0, \pi]$ | نزولی اکید | $\arccos x$ |
| $y = \tan x$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ | صعودی اکید (با مجانب قائم) | $\arctan x$ |
۲. آزمون خط افقی و نحوه تعیین بازهٔ یکبهیک
یکی از روشهای سریع تشخیص یکبهیک بودن تابع روی یک بازه، آزمون خط افقی است: اگر بتوان خطی موازی محور $x$ رسم کرد که نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، تابع روی آن بازه یکبهیک نیست. برای توابع مثلثاتی، با محدود کردن دامنه به یک دور کامل صعودی یا نزولی، این شرط برآورده میشود.
۳. تأثیر انتخاب بازه روی دامنه و برد توابع وارون
وقتی یک تابع مثلثاتی را روی بازهٔ یکبهیک محدود میکنیم، دامنهٔ آن بازه و برد آن به همان محدودهٔ مقادیر تابع تبدیل میشود. برای مثال تابع $f(x)=\sin x$ با دامنهٔ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ دارای برد $[-1, 1]$ است. بنابراین تابع وارون آن یعنی $\arcsin x$ دارای دامنهٔ $[-1, 1]$ و برد $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ خواهد بود. به همین ترتیب برای کسینوس و تانژانت نیز این تناظر برقرار است.
۴. کاربرد در معادلات مثلثاتی و محاسبات مهندسی
در حل معادلات مثلثاتی، پس از یافتن جواب اصلی با کمک وارون4 تابع (مانند $\arcsin$)، باید با توجه به تناوب و تقارن، سایر جوابها را در بازههای دلخواه تعیین کنیم. به عنوان مثال در فیزیک، برای محاسبهٔ زاویهٔ پرتاب یک پرتابه بر اساس مؤلفهٔ قائم سرعت، ابتدا از $\arcsin$ استفاده میکنیم و سپس با در نظر گرفتن بازهٔ $(0, \frac{\pi}{2})$ برای پرتاب در نیمهٔ اول، یک جواب یکتا به دست میآوریم. در نقشهبرداری و سیستمهای راداری نیز توابع $\arctan2(y,x)$ که از تقسیم دو مؤلفه به دست میآید، بر اساس محدود کردن دامنهٔ تانژانت به بازهٔ $(-\pi, \pi]$ تعریف میشود.
۵. چالشهای مفهومی
پاسخ: زیرا در این بازه تابع سینوس ابتدا از $0$ تا $1$ افزایش، سپس تا $0$ کاهش و بعد تا $-1$ افت میکند و دوباره به $0$ بازمیگردد؛ بنابراین خط افقی $y=0.5$ آن را در دو نقطه قطع خواهد کرد. شرط یکبهیک بودن نقض میشود.
پاسخ: بله، همچنان یکبهیک است زیرا تابع در تمام این بازه به طور پیوسته و صعودی اکید است. مجانب قائم در دو سر بازه فقط باعث میشود تابع به $+\infty$ و $-\infty$ برود، اما هیچ دو نقطهٔ متفاوت خروجی برابر ندارند.
پاسخ: بله، در بازهٔ $[-\pi, 0]$ تابع کسینوس از $\cos(-\pi)=-1$ تا $\cos 0 = 1$ صعودی اکید است و یکبهیک میباشد. ولی قرارداد استاندارد از بازهٔ $[0,\pi]$ استفاده میکند تا دامنهٔ وارون شامل زوایای متداول مثبت باشد.
پاورقی
1 تابع یکبهیک (One-to-One Function): تابعی که در آن هر عضو برد متناظر با دقیقاً یک عضو دامنه باشد؛ معادل شرط $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$.
2 تابع تناوبی (Periodic Function): تابعی که برای یک عدد مثبت ثابت $T$ داشته باشیم $f(x+T)=f(x)$. کوچکترین $T$ مثبت، دورهٔ تناوب نامیده میشود. برای سینوس و کسینوس $T=2\pi$ و برای تانژانت $T=\pi$ است.
3 بازهٔ اصلی (Principal Interval): بزرگترین بازهای که تابع مثلثاتی روی آن یکبهیک بوده و شامل نقطهای با خروجی صفر (برای سینوس و تانژانت) یا بیشترین مقدار مثبت (برای کسینوس) است.
4 وارون تابع (Inverse Function): اگر تابع $f$ روی بازهٔ $I$ یکبهیک باشد، تابع $f^{-1}$ با دامنهٔ $f(I)$ و برد $I$ به گونهای تعریف میشود که $f^{-1}(f(x))=x$.
