قانون توزیعپذیری ضرب عدد در جمع بردارها
۱. تعریف بردار و ضرب نردبانی
بردار1 به عنوان یک کمیت دارای اندازه و جهت شناخته میشود. در دستگاه مختصات دکارتی، یک بردار دوبعدی مانند $\vec{a}$ را با جفتمرتب $(a_1, a_2)$ نمایش میدهند. ضرب یک عدد حقیقی $r$ (که نردبان2 نامیده میشود) در بردار $\vec{a}$ به صورت $r\vec{a} = (r a_1, r a_2)$ تعریف میشود. به این ترتیب، اگر $r \gt 0$ باشد، جهت بردار ثابت میماند و اندازه آن $r$ برابر میشود؛ اگر $r \lt 0$ باشد، جهت بردار برعکس میگردد.
۲. جمع بردارها و قانون متوازیالاضلاع
جمع دو بردار $\vec{a} = (a_1, a_2)$ و $\vec{b} = (b_1, b_2)$ به صورت مؤلفهای انجام میشود: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$. از نظر هندسی، بردار حاصل قطر متوازیالاضلاعی است که دو بردار روی دو ضلع آن قرار دارند. این قاعده پایهای برای درک قانون توزیعپذیری است.
| عملیات | فرمول جبری | تفسیر هندسی |
|---|---|---|
| جمع بردارها | $(a_1+b_1, a_2+b_2)$ | قانون متوازیالاضلاع |
| ضرب نردبانی | $(r a_1, r a_2)$ | تغییر مقیاس (کشش یا فشردگی) |
۳. اثبات قانون توزیعپذیری با مؤلفهها
برای اثبات این ویژگی، دو بردار دلخواه $\vec{a} = (a_1, a_2)$ و $\vec{b} = (b_1, b_2)$ و عدد حقیقی $r$ را در نظر بگیرید. ابتدا مجموع بردارها را محاسبه کرده و سپس در $r$ ضرب میکنیم:
$r(\vec{a} + \vec{b}) = r (a_1 + b_1, a_2 + b_2) = (r(a_1 + b_1), r(a_2 + b_2))$حال از قانون توزیعپذیری ضرب بر روی اعداد حقیقی (که در دبیرستان آموختهاید) استفاده میکنیم: $r(a_1+b_1)= r a_1 + r b_1$ و $r(a_2+b_2)= r a_2 + r b_2$. بنابراین:
$r(\vec{a} + \vec{b}) = (r a_1 + r b_1, r a_2 + r b_2) = (r a_1, r a_2) + (r b_1, r b_2) = r\vec{a} + r\vec{b}$این اثبات نشان میدهد که قانون توزیعپذیری مستقیماً از ویژگی اعداد حقیقی به مؤلفههای بردار منتقل میشود و برای هر ابعادی (حتی سهبعدی و بالاتر) معتبر است.
۴. کاربرد فیزیکی: نیروها و برآیند آنها
در فیزیک، اگر دو نیروی $\vec{F_1}$ و $\vec{F_2}$ بر یک جسم وارد شوند و بخواهیم تأثیر یک ضریب مقیاس (مانند دو برابر کردن همه نیروها) را بررسی کنیم، قانون توزیعپذیری میگوید: اعمال ضریب مقیاس روی برآیند برابر است با برآیند نیروهای مقیاسشده. برای نمونه، اگر $\vec{F_1} = (4, 1)$ نیوتون و $\vec{F_2} = (2, 3)$ نیوتون و $r=0.5$ باشد، آنگاه:
۵. چالشهای مفهومی
پرسش ۱: آیا قانون توزیعپذیری برای ضرب یک بردار در عدد حقیقی و جمع چند بردار (بیش از دو بردار) نیز برقرار است؟
بله. با استقراء ریاضی میتوان نشان داد که برای هر عدد صحیح $n \ge 2$ و بردارهای $\vec{v_1}, \vec{v_2}, ..., \vec{v_n}$ داریم: $r(\vec{v_1} + \vec{v_2} + ... + \vec{v_n}) = r\vec{v_1} + r\vec{v_2} + ... + r\vec{v_n}$. این خاصیت همان «توزیعپذیری تعمیمیافته» نام دارد.
پرسش ۲: اگر عدد $r$ خود بردار باشد (نه عدد حقیقی)، آیا رابطه مشابهی وجود دارد؟
خیر. ضرب یک بردار در بردار دیگر به صورت ضرب نقطهای (اسکالر) یا ضرب خارجی تعریف میشود که توزیعپذیری نسبت به جمع دارد ولی خواص متفاوتی از جمله جابهجاییناپذیری دارد. قانون $\vec{r}(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{r}\vec{a} + \vec{r}\vec{b}$ برای ضرب نقطهای برقرار است اما فاقد مفهوم «اندازه r» به عنوان یک عامل مقیاسدهنده است.
پرسش ۳: چرا نمیتوان از این قانون برای تقسیم بردارها استفاده کرد؟
زیرا تقسیم بر یک بردار در جبر خطی استاندارد تعریف نشده است. ما فقط میتوانیم یک بردار را بر یک عدد حقیقی غیرصفر تقسیم کنیم (که معادل ضرب در $1/r$ است). عمل تقسیم بر بردار، مفهومی ندارد مگر در ساختارهای جبری خاص مانند کواترنیونها که در دبیرستان تدریس نمیشود.
۶. جمعبندی
۷. پاورقی
1 بردار (Vector): کمیتی که دارای اندازه و جهت است و با پارهخط جهتدار نمایش داده میشود.
2 نردبان (Scalar): عدد حقیقی که تنها دارای اندازه است و جهت ندارد و برای تغییر مقیاس بردار به کار میرود.
3 قانون توزیعپذیری (Distributive Property): قاعدهای که بر اساس آن ضرب یک عدد در مجموع چند کمیت برابر است با مجموع ضرب آن عدد در هر یک از کمیتها.
