مماس سهمی: خطی که منحنی را تنها در یک نقطه لمس میکند
۱. مماس بر سهمی: تعریف و شیب
سهمی نمودار معادلهٔ درجهٔ دوم به فرم $y = ax^2 + bx + c$ است. خط مماس در نقطهٔ $A(x_0, y_0)$ خطی است که سهمی را تنها در همان نقطه لمس میکند و شیب آن برابر با مشتق تابع در آن نقطه است. برای سهمی سادهٔ $y = x^2$، شیب مماس در نقطهٔ $x_0$ برابر $2x_0$ خواهد بود. اگر نقطهٔ تماس را $A(1,1)$ در نظر بگیریم، معادلهٔ مماس به صورت $y - 1 = 2(x - 1)$ یا $y = 2x - 1$ به دست میآید.
۲. ویژگی بازتابندگی سهمی
یکی از جذابترین ویژگیهای سهمی، خاصیت بازتابندگی1 آن است. فرض کنید خط $d$ بر سهمی در نقطهٔ $A$ مماس باشد. اگر از نقطهٔ $A$ خطی عمود بر مماس (خط قائم2) رسم کنیم، این خط به عنوان خط فرضی برای اندازهگیری زاویهها عمل میکند. ویژگی بازتابندگی میگوید: هر پرتوی نور یا موج که از کانون3 سهمی به نقطهٔ $A$ بتابد، پس از بازتاب از سطح سهمی، موازی با محور تقارن حرکت میکند و برعکس، پرتوهای موازی با محور پس از برخورد به سطح سهمی، به سمت کانون بازتاب میشوند.
برای اثبات این ویژگی نشان میدهیم که زاویهٔ بین خط مماس و خط وصل به کانون با زاویهٔ بین خط مماس و خط موازی با محور برابر است. فرض کنید سهمی به فرم استاندارد $y^2 = 4px$ (دهانه به راست) را در نظر بگیریم. کانون آن در نقطهٔ $F(p,0)$ قرار دارد. برای نقطهٔ دلخواه $A(x_0,y_0)$ روی سهمی، شیب مماس $m_t = \frac{2p}{y_0}$ است. با استفاده از روابط مثلثاتی میتوان اثبات کرد که زاویهٔ برخورد (نسبت به خط قائم) با زاویهٔ بازتاب برابر است. این ویژگی مبنای طراحی بسیاری از وسایل نوری و مخابراتی قرار گرفته است.
| نوع خط | نقش در بازتابندگی | معادله مثال برای سهمی $y=x^2$ در نقطه $(1,1)$ |
|---|---|---|
| مماس | سطح بازتابنده (آینه) | $y = 2x - 1$ |
| قائم (عمود بر مماس) | خط مرجع برای اندازهگیری زاویه | $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ |
۳. کاربرد عملی: طراحی بازتابندههای نور و آنتنها
ویژگی بازتابندگی سهمی کاربردهای گستردهای در زندگی روزمره دارد. چراغهای جلوی خودروها، آنتنهای ماهوارهای و تلسکوپهای بازتابی همگی از این خاصیت بهره میبرند. در یک آنتن سهمیوار، امواج موازی از فضا به سطح سهمی برخورد کرده و به سمت گیرندهای که در کانون قرار دارد متمرکز میشوند. برعکس، امواج تولید شده از منبعی در کانون، پس از بازتاب به صورت پرتوهایی موازی منتشر میشوند. یک مثال ساده: فرض کنید یک چراغ قوه با آینهٔ سهمی طراحی شده است. اگر رشتهی لامپ را دقیقاً در کانون قرار دهیم، نور پس از برخورد به سطح سهمی، به صورت پرتوی موازی خارج میشود و فاصلهٔ دور را روشن میکند.
در شکل زیر (که در اینجا توصیف میشود) اگر خط $d$ مماس بر سهمی در نقطهٔ $A$ باشد، زاویهٔ بین $FA$ (وصل به کانون) و خط مماس با زاویهٔ بین خط مماس و خط موازی با محور برابر است. این تساوی زاویهها همان قانون بازتاب (زاویهٔ برخورد برابر زاویهٔ بازتاب) را نسبت به خط قائم تضمین میکند.
۴. چالشهای مفهومی
خیر. تعریف مماس بر منحنیهای درجه دوم (مقاطع مخروطی) به گونهای است که معادلهٔ حاصل از حل همزمان خط و سهمی، یک ریشهٔ مضاعف (دوتایی) دارد. بنابراین خط فقط در یک نقطه تماس دارد. البته برای سهمی، مماس موازی با محور تقارن وجود ندارد (چون سهمی تابع است و شیب بینهایت در رأس اتفاق میافتد اما مماس قائم در رأس داریم که آن هم یک نقطه تماس دارد).
قانون بازتاب در فیزیک میگوید: «زاویهٔ پرتو فرودی با خط عمود بر سطح (قائم) برابر است با زاویهٔ پرتو بازتابیده با همان خط عمود». مماس نقش «سطح آینه» را دارد، بنابراین خط قائم (عمود بر مماس) به عنوان خط مبنا برای سنجش زاویهها استفاده میشود. اگر زاویه را نسبت به خود مماس بسنجیم، قانون به شکل دیگری بیان میشود (مکمل زاویهها) اما راحتترین روش استفاده از قائم است.
ویژگی بازتابندگی برای همهٔ سهمیها (با هر چرخش و انتقالی) صادق است، به شرطی که تعریف کانون و محور تقارن به درستی انجام شود. در سهمیهای افقی ($x = ay^2$) نیز به طور مشابه، پرتوهای موازی با محور $x$ به کانون بازتاب میشوند. فرم کلی یک سهمی با چرخش، باز هم این خاصیت را حفظ میکند زیرا این ویژگی یک خاصیت هندسی ذاتی مقاطع مخروطی است.
۵. جمعبندی
پاورقی
1 بازتابندگی (Reflectivity): خاصیت یک سطح برای بازتاباندن امواج یا پرتوهای نور که در سهمی به دلیل شکل هندسی خاص آن، پرتوهای کانون را موازی میکند.
2 خط قائم (Normal line): خطی عمود بر مماس در نقطهٔ تماس که به عنوان مرجع اندازهگیری زاویه در قانون بازتاب به کار میرود.
3 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی در داخل سهمی که تمام پرتوهای موازی با محور پس از بازتاب به آن میرسند. فاصلهٔ کانون تا رأس سهمی $p$ نام دارد.
