سهمی منتقلشده با دهانه رو به چپ: معادله، نمودار و کاربردها
ریشهیابی معادله: از سهمی استاندارد تا حالت منتقلشده
سهمی مکان هندسی نقاطی است که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ ثابت به نام کانون برابر با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت به نام خط هادی است. برای سهمی با دهانه رو به چپ که رأس آن در مبدأ مختصات باشد، معادلهٔ استاندارد به صورت $ y^2 = -4ax $ نوشته میشود که در آن $ a \gt 0 $ است. در این حالت، کانون در نقطهٔ $ (-a, 0) $ و خط هادی به معادلهٔ $ x = a $ قرار دارد.
حال اگر بخواهیم این سهمی را چنان انتقال دهیم که رأس آن از مبدأ به نقطهٔ $ (h,k) $ منتقل شود، کافی است در معادله، هر $ x $ را با $ x-h $ و هر $ y $ را با $ y-k $ جایگزین کنیم. با انجام این انتقال، معادلهٔ سهمی منتقلشده با دهانه رو به چپ به شکل زیر در میآید:
در این معادله، به دلیل وجود علامت منفی در سمت راست، سهمی به سمت چپ باز میشود (دهانه رو به چپ). مقدار $ a $ فاصلهٔ رأس تا کانون را نشان میدهد و همچنین تعیینکنندهٔ درجهٔ بازشدگی سهمی است. هرچه $ a $ بزرگتر باشد، دهانهٔ سهمی پهنتر میشود.
عناصر کلیدی سهمی (کانون، خط هادی، محور تقارن)
برای سهمی با معادلهٔ $ (y-k)^2 = -4a(x-h) $، عناصر زیر به سادگی از روی رأس $ (h,k) $ و پارامتر $ a $ قابل محاسبه هستند:
- کانون (Focus): از آنجا که سهمی به چپ باز میشود، کانون در فاصلهٔ $ a $ واحدی در سمت چپ رأس قرار دارد. بنابراین مختصات کانون برابر است با $ (h-a, k) $.
- خط هادی (Directrix): خط هادی به صورت عمودی و در سمت راست رأس، به فاصلهٔ $ a $ واحد قرار دارد. معادلهٔ خط هادی: $ x = h + a $.
- محور تقارن (Axis of Symmetry): سهمی نسبت به خط افقی $ y = k $ متقارن است. این خط از رأس و کانون میگذرد.
- رأس (Vertex): نقطهٔ $ (h,k) $ که رأس سهمی است.
برای درک بهتر، یک مثال عملی را گام به گام دنبال میکنیم: فرض کنید معادلهٔ سهمی به صورت $ (y-2)^2 = -12(x+1) $ داده شده است. ابتدا معادله را با فرم استاندارد مقایسه میکنیم: $ (y-2)^2 = -4a(x-h) $. در اینجا $ k=2 $ و از طرفی $ -4a = -12 $ پس $ a = 3 $. همچنین $ x-h = x+1 $ را میتوان به صورت $ x - (-1) $ نوشت، بنابراین $ h = -1 $. نتیجه میگیریم: رأس در نقطهٔ $ (-1, 2) $، کانون در $ (h-a, k) = (-1-3, 2) = (-4, 2) $، خط هادی به معادلهٔ $ x = h+a = -1+3 = 2 $ و محور تقارن خط $ y = 2 $ است.
| ویژگی | سهمی استاندارد (رأس در مبدأ) | سهمی منتقلشده (رأس در (h,k)) |
|---|---|---|
| معادله | $ y^2 = -4ax $ | $ (y-k)^2 = -4a(x-h) $ |
| رأس | $ (0,0) $ | $ (h,k) $ |
| کانون | $ (-a,0) $ | $ (h-a, k) $ |
| خط هادی | $ x = a $ | $ x = h + a $ |
| محور تقارن | $ y = 0 $ (محور xها) | $ y = k $ |
کاربرد عملی: طراحی آینههای مقعر و بازتاب نور
سهمیهای با دهانه رو به چپ در طراحی آینههای مقعر و آنتنهای ماهوارهای کاربرد گستردهای دارند. هنگامی که پرتوهای نور موازی با محور تقارن (افقى) به سطح یک آینهٔ سهمی برخورد میکنند، همگی به سمت کانون بازتاب میشوند. به عنوان مثال، فرض کنید یک آینهٔ سهمی با معادلهٔ $ (y-3)^2 = -8(x-2) $ طراحی شده است. در اینجا $ 4a = 8 $ پس $ a = 2 $، رأس در $ (2,3) $ و کانون در $ (0,3) $ قرار دارد. هر پرتو نوری که موازی با محور $ y=3 $ (افقى) به آینه بتابد، پس از بازتاب از نقطهٔ کانون $ (0,3) $ عبور میکند. به همین دلیل، در چراغهای خودرو یا پروژکتورها، لامپ را در نقطهٔ کانون قرار میدهند تا نور بازتابشده به صورت پرتوهای موازی منتشر شود.
چالشهای مفهومی
پاسخ: علامت منفی جهت بازشدن سهمی را مشخص میکند. با علامت منفی، سهمی به چپ باز میشود (دهانه رو به چپ). اگر به جای منفی، علامت مثبت داشته باشیم، معادله به صورت $ (y-k)^2 = 4a(x-h) $ در میآید که نشاندهندهٔ سهمی با دهانه رو به راست است.
پاسخ: در تعریف استاندارد سهمی با دهانه رو به چپ، پارامتر $ a $ را مثبت در نظر میگیریم و علامت منفی را در ساختار معادله میآوریم. اگر عددی منفی جایگزین $ a $ شود، در واقع جهت دهانه تغییر میکند. به عنوان مثال $ (y-k)^2 = -4(-2)(x-h) $ برابر با $ (y-k)^2 = 8(x-h) $ میشود که دهانه رو به راست دارد. بنابراین همیشه فرض میکنیم $ a \gt 0 $ و جهت را با علامت صریح مشخص میکنیم.
پاسخ: ابتدا عبارت $ y^2 + Dy $ را کامل مربع میکنیم: $ (y + \frac{D}{2})^2 = y^2 + Dy + \frac{D^2}{4} $. سپس معادله را به شکل $ (y + \frac{D}{2})^2 = -Ex + (\frac{D^2}{4} - F) $ بازنویسی میکنیم. اگر ضریب $ x $ یعنی $ -E $ منفی باشد (یعنی $ E \gt 0 $)، سهمی رو به چپ باز میشود. سپس با فاکتورگیری از سمت راست به فرم $ (y - k)^2 = -4a(x - h) $ میرسیم و رأس مشخص میشود.
تمرین گامبهگام برای ترسیم نمودار
فرض کنید معادلهٔ $ (y+1)^2 = -16(x-3) $ داده شده است. میخواهیم نمودار آن را ترسیم کنیم.
- گام ۱: تشخیص پارامترها - معادله به صورت $ (y-(-1))^2 = -4a(x-3) $ است. بنابراین $ k = -1 $، $ h = 3 $ و $ -4a = -16 \Rightarrow a = 4 $.
- گام ۲: تعیین رأس - رأس در نقطهٔ $ (3, -1) $ قرار دارد.
- گام ۳: یافتن کانون و خط هادی - کانون: $ (h-a, k) = (3-4, -1) = (-1, -1) $. خط هادی: $ x = h+a = 3+4 = 7 $.
- گام ۴: محور تقارن - خط افقی $ y = -1 $.
- گام ۵: پیدا کردن دو نقطهٔ دیگر - برای $ y = -1 + 4 = 3 $ داریم: $ (3+1)^2 = 16 \Rightarrow (4)^2 = 16 = -16(x-3) \Rightarrow -16(x-3)=16 \Rightarrow x-3 = -1 \Rightarrow x=2 $. نقطهٔ $ (2,3) $. به طور متقارن برای $ y = -5 $ نیز نقطهٔ $ (2,-5) $ به دست میآید. اکنون میتوان سهمی را از میان رأس و این دو نقطه رسم کرد.
پاورقی
1 کانون (Focus): نقطهای ثابت در داخل سهمی که فاصلهٔ هر نقطه از سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا خط هادی برابر است.
2 خط هادی (Directrix): خطی ثابت خارج از سهمی که فاصلهٔ هر نقطه از سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا کانون برابر است.
3 محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی که سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم میکند و از رأس و کانون میگذرد.
