انتقال سهمی: جابجایی رأس از (0,0) به (h,k) با جایگزینی x-h و y-k
۱. مفهوم انتقال سهمی و تأثیر روی رأس
سهمی، نمودار تابع درجه دوم به فرم استاندارد $y = a x^2$ است که رأس آن در مبدأ مختصات (0,0) قرار دارد. انتقال (Translation) به معنای جابجایی تمام نقاط سهمی به اندازهٔ h واحد در راستای محور x (افقی) و k واحد در راستای محور y (عمودی) است. پس از انتقال، رأس جدید در نقطهٔ (h,k) قرار میگیرد. برای نمونه، سهمی $y = 2x^2$ را در نظر بگیرید. اگر آن را 3 واحد به راست و 4 واحد به بالا انتقال دهیم، رأس از (0,0) به (3,4) میرود. شکل سهمی (بازشدگی و عرض) تغییر نمیکند؛ فقط مکان آن در صفحه تغییر میکند.
۲. قاعدهٔ جایگزینی x-h و y-k در معادله
برای نوشتن معادلهٔ سهمی انتقالیافته، کافی است در معادلهٔ اصلی به جای هر x عبارت (x - h) و به جای هر y عبارت (y - k) قرار دهیم. دلیل این قاعده آن است که مختصات جدید هر نقطهٔ سهمی نسبت به مبدأ جدید (رأس منتقلشده) سنجیده میشود. اگر معادلهٔ اصلی سهمی $y = a x^2$ باشد، پس از انتقال به اندازهٔ h در جهت x و k در جهت y، معادلهٔ جدید به صورت $y - k = a (x - h)^2$ درمیآید. با سادهسازی، فرم استاندارد سهمی با رأس (h,k) حاصل میشود: $y = a (x - h)^2 + k$. این روش برای هر نوع سهمی قائم (محور تقارن عمودی) کاربرد دارد.
۳. جدول مقایسهٔ معادلهٔ سهمی پیش و پس از انتقال
| مشخصات | پیش از انتقال (رأس در مبدأ) | پس از انتقال (رأس در (h,k)) |
|---|---|---|
| معادلهٔ استاندارد | $y = a x^2$ | $y = a (x - h)^2 + k$ |
| مختصات رأس | (0,0) | (h,k) |
| معادلهٔ محور تقارن | x = 0 | x = h |
| نحوهٔ انتقال | مبدأ مرجع | جابجایی به اندازهٔ h افقی و k عمودی |
۴. کاربرد عملی: مسیر حرکت یک توپ در پرتاب سهمی
در فیزیک دبیرستان، مسیر حرکت یک پرتابه (مانند توپ) در میدان گرانش، به شکل یک سهمی است. اگر پرتاب از نقطهٔ شروع (0,0) انجام شود و بیشینهٔ ارتفاع در نقطهٔ (h,k) رخ دهد، معادلهٔ مسیر به صورت $y = a (x - h)^2 + k$ نوشته میشود. برای نمونه، توپی از سطح زمین با زاویهٔ مشخص پرتاب میشود. اگر رأس مسیر (نقطهٔ اوج) در (20,15) متر باشد و ضریب بازشدگی $a = -0.025$ (به دلیل جهت رو به پایین)، معادلهٔ مسیر به این صورت خواهد بود: $y = -0.025(x - 20)^2 + 15$. با استفاده از جایگزینی $x-h$ و $y-k$، به راحتی میتوان معادلهٔ حرکت را بر حسب دستگاه مختصات جدید نوشت و نقاط برخورد با زمین را محاسبه کرد.
۵. چالشهای مفهومی در انتقال سهمی
پرسش ۱: چرا در انتقال به راست، از $x - h$ استفاده میکنیم نه $x + h$؟
پاسخ: زیرا اگر نقطهٔ جدید روی سهمی $(x, y)$ باشد، نقطهٔ متناظر آن در سهمی اصلی $(x - h, y - k)$ است که در معادلهٔ $y-k = a(x-h)^2$ صدق میکند. بنابراین علامت منفی برای جابجایی مثبت h به راست، ضروری است.
پرسش ۲: اگر سهمی به صورت $x = a y^2$ باشد (سهمی خوابیده)، قاعدهٔ انتقال چگونه تغییر میکند؟
پاسخ: برای این نوع سهمی که محور تقارن افقی دارد، انتقال رأس از (0,0) به (h,k) به صورت $x - h = a (y - k)^2$ نوشته میشود. باز هم جایگزینی $x-h$ و $y-k$ اعمال میشود.
پرسش ۳: آیا ترتیب انجام انتقال افقی و عمودی در نتیجهٔ نهایی تأثیر دارد؟
پاسخ: خیر، انتقالها جابهجاییهای مستقل هستند و خروجی نهایی مستقل از ترتیب است. زیرا جمع بردارها جابهجایی پذیر است. همیشه میتوان ابتدا انتقال افقی و سپس عمودی یا برعکس انجام داد و به معادلهٔ یکسان $y = a(x-h)^2 + k$ رسید.
پاورقی
1 سهمی (Parabola): مجموعه نقاطی در صفحه که فاصلهٔ هر نقطه تا یک نقطهٔ ثابت (کانون) با فاصلهٔ آن تا یک خط ثابت (جهتخط) برابر است.
2 انتقال (Translation): جابجایی هر نقطه از یک شکل به اندازهٔ یک بردار ثابت در صفحه، بدون تغییر در اندازه یا جهت شکل.
3 رأس (Vertex): نقطهٔ عطف یا نقطهٔ حداقل (یا حداکثر) یک سهمی که محور تقارن از آن میگذرد.
4 محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی که سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم میکند و از رأس میگذرد.
