سهمی با رأس در مبدأ و دهانه رو به چپ: از تعریف کانون و خط هادی تا معادلهٔ $y^2=-4ax$
۱. تعریف هندسی سهمی با کانون و خط هادی
سهمی مکان هندسی مجموعه نقاطی در صفحه است که فاصلهٔ هر یک از آنها تا یک نقطهٔ ثابت به نام کانون1 (Focus) برابر با فاصلهٔ همان نقطه تا یک خط ثابت به نام خط هادی2 (Directrix) باشد. در حالت کلی، اگر کانون روی محور $x$ها و خط هادی عمودی باشد، جهت بازشدگی سهمی به سمتی است که کانون در آن قرار دارد.
برای سهمی با رأس در مبدأ و دهانهٔ رو به چپ، کانون در نقطهٔ $F(-a, 0)$ و خط هادی به صورت $x = a$ تعریف میشود. در اینجا $a$ یک عدد حقیقی مثبت ($a \gt 0$) است و نشاندهندهٔ فاصلهٔ رأس تا کانون (یا فاصلهٔ رأس تا خط هادی) میباشد.
۲. استخراج گامبهگام معادلهٔ $y^2 = -4ax$
فرض کنید $P(x,y)$ نقطهای دلخواه روی سهمی باشد. بر اساس تعریف:
- فاصلهٔ $P$ تا کانون $F(-a,0)$ برابر است با: $d_1 = \sqrt{(x + a)^2 + (y - 0)^2}$
- فاصلهٔ $P$ تا خط هادی $x = a$ برابر است با قدر مطلق اختلاف طولها: $d_2 = |x - a|$
- شرط تعریف: $d_1 = d_2$
بنابراین داریم:
دو طرف را به توان دو میرسانیم:
با بسط جملات:
با حذف $x^2$ و $a^2$ از دو طرف، داریم:
با انتقال جملهٔ $2ax$ به سمت راست:
در نهایت به معادلهٔ شناختهشده میرسیم:
از آنجا که $a \gt 0$ است، عبارت $-4ax$ برای مقادیر مثبت $x$ منفی شده و جواب حقیقی ندارد، بنابراین $x \le 0$ خواهد بود؛ یعنی کل سهمی در نیمصفحهٔ چپ (شامل رأس در مبدأ) قرار میگیرد.
۳. ویژگیهای هندسی و جدول تحلیل پارامترها
پارامتر $a$ نقش اساسی در تعیین بازشدگی سهمی دارد. هرچه $a$ بزرگتر باشد، دهانهٔ سهمی پهنتر میشود و برعکس. در جدول زیر مهمترین ویژگیهای این سهمی مقایسه شدهاند:
| مشخصه | مقدار یا وضعیت | توضیح |
|---|---|---|
| رأس | $(0,0)$ | نقطهٔ تقارن و ابتدای سهمی |
| کانون | $(-a,0)$ | در سمت چپ رأس |
| خط هادی | $x=a$ | خطی عمودی در سمت راست رأس |
| محور تقارن | محور $x$ها (خط $y=0$) | سهمی نسبت به محور افقی متقارن است |
| جهت بازشدگی | چپ | به دلیل منفی بودن ضریب $x$ |
| طول کانونی | $a$ | فاصلهٔ رأس تا کانون |
۴. رسم سهمی و چند نقطهٔ نمونه
برای رسم سهمی $y^2 = -4ax$ با فرض $a=1$، معادله به $y^2 = -4x$ تبدیل میشود. با انتخاب چند مقدار برای $y$، $x$ را محاسبه میکنیم:
| $y$ | $x = -\frac{y^2}{4}$ | نقطه |
|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $(0,0)$ (رأس) |
| $\pm 1$ | $-\frac{1}{4} = -0.25$ | $(-0.25, 1)$ و $(-0.25, -1)$ |
| $\pm 2$ | $-1$ | $(-1, 2)$ و $(-1, -2)$ |
| $\pm 3$ | $-\frac{9}{4} = -2.25$ | $(-2.25, 3)$ و $(-2.25, -3)$ |
همانطور که مشاهده میشود، با افزایش $|y|$، مقدار $x$ به سمت اعداد منفی بزرگتر حرکت میکند و سهمی به چپ گسترش مییابد.
۵. کاربرد عملی: بازتاب پرتوها در آینهٔ سهمی
یکی از مهمترین کاربردهای سهمی با دهانهٔ رو به چپ در طراحی آینههای مقعر سهمیوار است. اگر منبع نوری در کانون ($(-a,0)$) قرار گیرد، پرتوهای بازتابیده موازی محور تقارن (محور $x$) خواهند شد. در این حالت، سهمی به عنوان بازتابنده در پروژکتورها، چراغهای جلوی خودرو و آنتنهای گیرندهٔ ماهواره به کار میرود. مثال عملی: در یک چراغ قوه، اگر رشتهٔ لامپ در کانون یک آینهٔ سهمی با دهانهٔ رو به جلو (یا رو به چپ بسته به طراحی) قرار گیرد، پرتوهای خروجی به صورت باریکهٔ موازی منتشر میشوند. عکس این قضیه نیز صادق است: امواج موازی که به سطح سهمی میتابند در کانون متمرکز میشوند.
۶. چالشهای مفهومی
پاسخ: از معادله داریم $y^2 = -4ax$. سمت چپ همواره نامنفی است ($y^2 \ge 0$)، بنابراین سمت راست نیز باید نامنفی باشد: $-4ax \ge 0$. از آنجا که $a \gt 0$، نتیجه میشود $-x \ge 0$ یا $x \le 0$. به همین دلیل کل سهمی در سمت چپ محور $y$ها (و روی رأس) قرار دارد.
پاسخ: فاصلهٔ رأس $(0,0)$ تا خط هادی $x=a$ برابر $|0-a| = a$ است. فاصلهٔ رأس تا کانون $(-a,0)$ نیز برابر $\sqrt{(0+a)^2+0^2}=a$ میشود. بنابراین شرط تعریف سهمی برای رأس برقرار است و این نشان میدهد رأس دقیقاً وسط کانون و خط هادی قرار دارد.
پاسخ: بله. اگر سهمی استاندارد $y^2 = 4ax$ را نسبت به محور $y$ (خط $x=0$) قرینه کنیم، به معادلهٔ $y^2 = -4ax$ میرسیم. این قرینهسازی، جایگزین کردن $x$ با $-x$ است و جهت دهانه را عوض میکند.
۷. جمعبندی
۸. پاورقی
1 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی در تعریف سهمی که فاصلهٔ هر نقطهٔ سهمی تا آن نقطه با فاصلهٔ همان نقطه تا خط هادی برابر است.
2 خط هادی (Directrix): خط ثابتی در تعریف سهمی که برای هر نقطهٔ روی سهمی، فاصلهٔ عمودی (یا کمترین فاصله) تا این خط با فاصله تا کانون برابر است.
