ضرب عدد در ماتریس و خاصیت توزیعپذیری نسبت به جمع
۱. مفهوم ضرب عدد در ماتریس و جمع ماتریسها
پیش از پرداختن به خاصیت توزیعپذیری، باید دو عمل اصلی را مرور کنیم. ضرب یک عدد (اسکالر3) در ماتریس به این معناست که هر درایهٔ ماتریس را در آن عدد ضرب میکنیم. به عنوان مثال اگر $r = 3$ و $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ باشد، آنگاه:
جمع دو ماتریس نیز تنها زمانی ممکن است که ابعاد آنها یکسان باشد؛ در این صورت درایههای متناظر با هم جمع میشوند. مثلاً برای $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$ داریم:
حال خاصیت توزیعپذیری میگوید که اگر یک عدد را در مجموع دو ماتریس ضرب کنیم، نتیجه با جمع ضرب آن عدد در هر ماتریس برابر است. یعنی:
این ویژگی برای تفاضل نیز به همین شکل برقرار است: $r(A-B)=rA - rB$.
۲. اثبات گامبهگام با استفاده از درایهها
برای اثبات این خاصیت، کافی است یک درایهٔ دلخواه از دو طرف تساوی را بررسی کنیم. فرض کنید $A$ و $B$ دو ماتریس $m \times n$ باشند. درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$ از ماتریس $A$ را $a_{ij}$ و از $B$ را $b_{ij}$ بنامیم. آنگاه:
- طرف اول: $r(A+B)$ → درایهٔ $(i,j)$ برابر است با $r \times (a_{ij} + b_{ij})$.
- طرف دوم: $rA + rB$ → درایهٔ $(i,j)$ برابر است با $r a_{ij} + r b_{ij}$.
از آنجا که برای اعداد حقیقی، خاصیت توزیعپذیری ضرب نسبت به جمع برقرار است، داریم: $r \times (a_{ij} + b_{ij}) = r a_{ij} + r b_{ij}$. بنابراین دو درایه با هم برابرند و این تساوی برای همهٔ درایهها صادق است. در نتیجه دو ماتریس با هم برابر خواهند بود.
۳. جدول مقایسهٔ حالتهای مختلف ضرب اسکالر در ماتریس
| عبارت | فرم توزیع شده | مثال عددی |
|---|---|---|
| $2(A+B)$ | $2A+2B$ | با $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ → هر دو طرف $\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}$ |
| $5(A-B)$ | $5A-5B$ | با همان ماتریسها: طرف اول $\begin{bmatrix}5&-5\\-5&5\end{bmatrix}$ |
| $r(A+B+C)$ | $rA+rB+rC$ | تعمیم به بیش از دو ماتریس |
۴. مثال عملی: محاسبهٔ میانگین نمرات با استفاده از ماتریسها
فرض کنید نمرات سه دانشآموز در دو درس ریاضی و علوم به صورت ماتریس $N = \begin{bmatrix} 18 & 15 \\ 14 & 17 \\ 16 & 19 \end{bmatrix}$ ذخیره شده است. اگر معلم بخواهد به همهٔ نمرات $2$ نمره تشویقی اضافه کند، نمرات جدید برابر $N+2J$ خواهد بود که در آن $J$ ماتریسی از همهیکها است. اما اگر بخواهیم تأثیر ضریب $0.5$ (برای نیمسال) را روی مجموع دو ماتریس نمرات نیمسال اول و دوم اعمال کنیم، از خاصیت توزیعپذیری استفاده میکنیم. اگر ماتریس نمرات نیمسال اول $S_1$ و نیمسال دوم $S_2$ باشد، میانگین سالانه به صورت $\frac{1}{2}(S_1+S_2) = \frac{1}{2}S_1 + \frac{1}{2}S_2$ محاسبه میشود. این روش محاسبه را سادهتر میکند، زیرا میتوان ابتدا هر ماتریس را در $0.5$ ضرب کرد و سپس جمع زد.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پرسش ۱: آیا خاصیت توزیعپذیری برای ضرب یک ماتریس در مجموع دو عدد نیز برقرار است؟ یعنی آیا $(r+s)A = rA + sA$ صحیح است؟
پاسخ: بله، این نیز یکی از ویژگیهای ضرب اسکالر در ماتریس است و به راحتی با بررسی درایهها اثبات میشود: درایهٔ $(i,j)$ سمت چپ برابر $(r+s)a_{ij}$ و سمت راست برابر $r a_{ij} + s a_{ij}$ است که با هم برابرند.
پرسش ۲: اگر به جای جمع، عمل ضرب ماتریسها را داشته باشیم، آیا $r(A \times B) = (rA) \times B$ برقرار است؟
پاسخ: بله، در ضرب ماتریس نیز این ویژگی صادق است، اما باید دقت کرد که ترتیب ضرب حفظ شود. به طور کلی $r(AB) = (rA)B = A(rB)$. اما این موضوع با خاصیت توزیعپذیری نسبت به جمع متفاوت است.
پرسش ۳: آیا برای تفاضل، خاصیت به صورت $r(A-B)=rA - rB$ همواره درست است؟
پاسخ: کاملاً درست است، زیرا تفاضل را میتوان به صورت جمع با ماتریس منفی نوشت: $A-B = A+(-1)B$. سپس با اعمال توزیعپذیری نسبت به جمع داریم: $r(A+(-1)B)= rA + r(-1)B = rA - rB$.
۶. کاربرد در حل معادلات ماتریسی
یکی از کاربردهای مهم این خاصیت، حل معادلات ماتریسی ساده است. فرض کنید معادلهٔ $3(X + 2A) = B - X$ را داریم که در آن $A$ و $B$ ماتریسهای معلوم و $X$ ماتریس مجهول است. با استفاده از خاصیت توزیعپذیری:
همانطور که میبینید، خاصیت توزیعپذیری به ما اجازه داد جملهٔ $X$ را از داخل پرانتز خارج کنیم و معادله را به سادگی حل نماییم.
پاورقی
1 ماتریس (Matrix): آرایهای مستطیلی از اعداد که در سطرها و ستونها مرتب شدهاند.
2 ماتریسها (Matrices): جمع ماتریس، به مجموعهای از اعداد در سطر و ستون گفته میشود.
3 اسکالر (Scalar): عددی حقیقی (یا مختلط) که در ضرب ماتریس به کار میرود و در همهٔ درایهها توزیع میشود.
