درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضیات گسسته کلاس دوازدهم ریاضی
درس 3: همنهشتی در اعداد صحیح و کاربردها
فعالیت (صفحهٔ 18 کتاب درسی)
در درس قبل دیدیم که باقیماندههای تقسیم اعداد بر 4 عبارتند از 0، 1، 2 و 3. حال اگر هر کدام از این باقیماندهها را نمایندهٔ یک مجموعه از اعداد در نظر بگیریم که باقیماندهٔ تقسیم هر عضو آن مجموعه بر عدد 4، بهترتیب 0، 1، 2 و 3 باشد، داریم:
(مجموعهٔ اعدادی را که باقیماندهٔ تقسیم آنها بر عدد m، مساوی با عدد r باشد با نماد ${{\left[ r \right]}_{m}}$ نشان میدهیم)
${{A}_{0}}=\left\{ x\in \mathbb{Z}|x=4k \right\}=\left\{ ...,-8,-4,0,4,8,...,16,... \right\}={{\left[ 0 \right]}_{4}}$
${{A}_{0}}=\left\{ x\in \mathbb{Z}|x=4k+1 \right\}=\left\{ ...,-7,-3,1,5,...,13,...,21,... \right\}={{\left[ 1 \right]}_{4}}$
${{A}_{0}}=\left\{ x\in \mathbb{Z}|x=4k+2 \right\}=\left\{ ...,-6,...,2,6,10,,... \right\}={{\left[ 2 \right]}_{4}}$
${{A}_{0}}=\left\{ x\in \mathbb{Z}|x=4k+3 \right\}=\left\{ ...,-13,...,-5,-1,3,7,11,... \right\}={{\left[ 3 \right]}_{4}}$
1- دو عضو دلخواه از مجموعهٔ ${{A}_{0}}$ را در نظر بگیرید. آیا تفاضل این دو عدد مضرب 4 است؟
2- از مجموعهٔ ${{A}_{1}}$ دو عضو دلخواه را در نظر بگیرید و تفاضل آنها را حساب کنید. آیا عدد حاصل مضرب 4 است؟
3- نتیجهای را که از 1 و 2 گرفتید در حالت کلی برای هر دو عضو دلخواه از ${{A}_{1}}$ اثبات کنید.
$a,b\in {{A}_{1}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& a=4{{k}_{1}}+1 \\
& b=... \\
\end{align} \right.\Rightarrow a-b=\left( ........ \right)-\left( 4{{k}_{2}}+1 \right)$ فرض کنید
$\Rightarrow a-b=4\left( \underbrace{{{k}_{1}}-{{k}_{2}}}_{{{k}_{3}}} \right)\Rightarrow 4|....-....$
4- آیا درست است بگوییم اعضای مجموعهٔ ${{A}_{2}}$ همگی در تقسیم بر عدد 4، باقیماندهٔ یکسان دارند؟ در مورد مجموعهٔ ${{A}_{3}}$ چه میتوان گفت؟
میدانیم مجموعههای ${{A}_{0}}$، ${{A}_{1}}$، ${{A}_{2}}$ و ${{A}_{3}}$ یک افراز برای مجموعهٔ $\mathbb{Z}$ هستند و بنابراین هر دو عدد صحیح، مانند a و b، یا هر دو به یکی از این چهار مجموعه تعلق دارند و یا هر کدام در یک مجموعه واقعاند (${{A}_{0}}$، ${{A}_{1}}$، ${{A}_{2}}$ و ${{A}_{3}}$ اشتراکی با هم ندارند. چرا؟) و لذا اگر a و b هر دو در یک مجموعه از این چهار مجموعه باشند (باقیماندهٔ تقسیم a و b بر 4 هم باقیمانده باشند) همواره $4|a-b$ و اگر اینطور نباشد $4\cancel{|}a-b$
$\left\{ \begin{matrix}
12\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2\,\,\,,\,\,\,-11\overset{6}{\mathop{\equiv }}\,1 \\
-295\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,-5\,\,\,,\,\,\,23\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,-7 \\
\end{matrix} \right.$ :مثال
قرارداد: مجموعهٔ همهٔ اعداد صحیح که باقیماندهٔ تقسیم آنها بر عدد طبیعی m برابر با r میباشد، یعنی ${{A}_{r}}=\left\{ x\in \mathbb{Z}|x=mk+r \right\}$ را کلاس یا دستهٔ همنهشتی r به پیمانهٔ m مینامیم و با نماد ${{\left[ r \right]}_{m}}$ نمایش میدهیم.
برای استفاده از رابطهٔ همنهشتی، ابتدا خواص و ویژگیهای این رابطه را بررسی میکنیم که با توجه به تعریف این رابطه و خواص رابطهٔ عاد کردن، ویژگیهای رابطهٔ همنهشتی بهراحتی اثبات میشوند. شما در کامل کردن اثباتها شرکت کنید.
اثبات:
$\begin{align}
& a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow m|a-b\Rightarrow m|a+c-b-c \\
& \Rightarrow m|\left( a+c \right)-\left( ....+.... \right)\Rightarrow \left( ....+.... \right)\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,\left( b+c \right) \\
\end{align}$
مثال: با توجه به فعالیت قبل، $\left[ 7,\left( -1 \right) \right]\in {{A}_{3}}\,7\overset{4}{\mathop{\equiv }}\,-1$ یا $\left( 4|7-\left( -1 \right) \right)$ در اینصورت اگر 5 واحد به دو طرف این همنهشتی اضافه کنیم فاصلهٔ این دو عدد یا تفاضل آنها همچنان حفظ شده و همان 8 که مضرب 4 است باقی میماند. بهعبارت دیگر، اعداد حاصل یعنی $7+5=12$ و $-1+5=4$ نیز هر دو در یکی از ${{A}_{i}}$ها قرار خواهند گرفت.
اثبات:
$a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow m|....-....\Rightarrow m|....\times \left( a-b \right)\Rightarrow m|ac-....$
$\Rightarrow ....\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bc$
تذکر: عکس ویژگی 2 برقرار نیست،یعنی اگر $ac\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bc$، لزوماً نمیتوان نتیجه گرفت که $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ (قانون حذف برای رابطهٔ همنهشتی در حالت کلی برقرار نیست) برای این مطلب یک مثال نقض بزنید.
مثال: $5\mathop \equiv \limits^3 {\mkern 1mu} 2 \Rightarrow {5^3}\mathop \equiv \limits^3 {\mkern 1mu} {2^3}$
اثبات: (از اتحاد $\left( {{a}^{n}}-{{b}^{n}} \right)=\left( a-b \right)\left( {{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+...+{{b}^{n-1}} \right)$ استفاده میکنیم)
$\begin{align}
& a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow m|a-b\Rightarrow m|(a-b)\underbrace{({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+....+{{b}^{n-1}})}_{0}(\equiv \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\equiv \,\,\,) \\
& \Rightarrow m|{{a}^{n}}-{{b}^{n}}\Rightarrow ....\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,.... \\
\end{align}$
تذکر: میدانیم ${{5}^{2}}\overset{4}{\mathop{\equiv }}\,{{3}^{2}}$ ولی $5\overset{4}{\mathop{{\cancel{\equiv }}}}\,3$ بنابراین نتیجه میگیریم که .....
$\begin{align}
& (15\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,10\,\,,\,\,{{7}^{2}}\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2\Rightarrow 15\times 7\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,10\times 2\,,\,15\times 2\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,10\times 7)\, \\
& ,\,15+7\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,10+2\Rightarrow 22\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,12 \\
\end{align}$
اثبات (1):
$\left. \begin{align}
& a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow m|....-....\overset{\times c}{\mathop{\Rightarrow }}\,m|ac-bc \\
& c\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,d\Rightarrow m|....-....\overset{\times b}{\mathop{\Rightarrow }}\,m|bc-.... \\
\end{align} \right\}\overset{+}{\mathop{\Rightarrow }}\,m|(ac-bc)+(....-bd)$
$\Rightarrow m|ac-....\Rightarrow a....\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bd$
اثبات (2) بهعهدهٔ شما
اثبات:
$\left. \begin{align}
& a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow m|a-b \\
& b\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,c\Rightarrow m|b-c \\
\end{align} \right\}\Rightarrow m|(a-b)+(b-c)$
$\Rightarrow m|a-c\Rightarrow a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,c$
تذکر مهم: اگر باقیماندهٔ تقسیم a بر m مساوی با r باشد در اینصورت $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,r$
$\begin{align}
& a=mq+r\Rightarrow a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,r \\
& (179=11\times 16+3\Rightarrow 179\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,3) \\
\end{align}$
اثبات:
$a=mq+r\Rightarrow a-r=mq\Rightarrow m|a-r\Rightarrow ....\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,....$
نتیجه 1: هرگاه بخواهیم کوچکترین عدد نامنفی و همنهشت با عدد a به پیمانهٔ m را مشخص کنیم، کافی است عدد a را بر m تقسیم کرده و باقیمانده را بهدست آوریم.
$296\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,?\to ....$ :مثال
نتیجهٔ 2: اگر دو عدد a و b تقسیم بر عدد طبیعی m، هم باقیمانده باشند در اینصورت $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$.
مثال: باقیماندهٔ تقسیم عدد $A={{(27)}^{7}}+19$ را بر 13 بیابید.
$\begin{align}
& 27=13\times 2+1\Rightarrow 27\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow \underbrace{{{(27)}^{7}}\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,{{1}^{7}}=1}_{1}\,\,,\,\,19=13\times 1+6 \\
& \Rightarrow \underbrace{19\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,6}_{2}\overset{(1)\,,\,(2)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,{{(27)}^{7}}+19\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,1+6\overset{(1)\,}{\mathop{\Rightarrow }}\,A\overset{13}{\mathop{\equiv }}\,7\Rightarrow r=7 \\
\end{align}$
پس باقیماندهٔ A بر 13، برابر با 7 میباشد.
مثال: باقیماندهٔ تقسیم عدد $A={{(1000)}^{13}}\times 12+10$ را بر 7 بیابید.
$\begin{align}
& 1000=7\times 142+6\Rightarrow 1000\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,6\,\,,\,\,6\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,-1\Rightarrow 1000\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,-1 \\
& \Rightarrow {{(1000)}^{13}}\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,{{(-1)}^{13}}=-1 \\
& \Rightarrow {{(1000)}^{13}}\times 12\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,(-1)\times 12=-12 \\
& \Rightarrow {{(1000)}^{13}}\times 12+10\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,(-12)+ 10=-2\,,\,-2\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,5 \\
& \Rightarrow {{(1000)}^{13}}\times 12+10\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,5\Rightarrow r=5 \\
\end{align}$
$a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ :طبق فرض
$mt\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,mk$ :میدانیم
$\overset{\pm }{\mathop{\Rightarrow }}\,a\pm mt\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\pm mk$
مثال: میدانیم $7\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2$ اگر بهسمت چپ رابطه $3\times 5=15$ و بهسمت راست آن $5\times 5=25$ واحد اضافه کنیم خواهیم داشت $7+15\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2+25$ یا $22\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,27$ که این رابطه برقرار است.
نتیجه مهم: اگر $ac\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bc$ و $(c,m)=1$ در اینصورت $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ در واقع قاعدهٔ حذف در همنهشتیها، برای هر عدد که نسبت به پیمانه اول باشد، برقرار است.
مثال: واضح است که $4\times 6\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,4\times 3$ و چون $(4,3)=1$، پس $6\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,3$.
فعالیت (صفحهٔ 22 کتاب درسی)
همانطور که در دورهٔ ابتدایی آموختید عددنویسی در مبنای 10 انجام میشود که در آن ارزش مکانی ارقام، ده تا ده تا در نظر گرفته میشود (ده تا یکی میشود ده تا و ده تا ده تایی میشود صد تا و ده تا صدتایی میشود هزار تا و ...) بنابراین بهراحتی میتوانیم هر عدد را در مبنای ده بسط بدهیم. بهعنوان مثال عدد 1397 را میتوان بهصورت زیر بسط داد:
$\begin{align}
& 1397=1\times 1000+3\times 100+9\times 10+7 \\
& 1397=1\times {{10}^{3}}+3\times {{10}^{2}}+9\times 10+7 \\
\end{align}$
1- هر یک از دو عدد زیر را در مبنای ده بسط بدهید.
$1388109=1\times {{10}^{6}}+....$
$13571122=$
2- باقیماندهٔ تقسیم عدد $A=1358112$ را بر عدد 9 بیابید.
میدانیم $10\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1$ و بنابر ویژگیهای رابطهٔ همنهشتی ${{10}^{n}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1$ و داریم:
$A=1\times {{10}^{6}}+3\times {{10}^{5}}+....+....+....+1\times 10+2$
${{10}^{6}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\overset{\times 1}{\mathop{\Rightarrow }}\,1\times {{10}^{6}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1$
${{10}^{5}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\overset{\times 3}{\mathop{\Rightarrow }}\,3\times {{10}^{5}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,3$
${{10}^{4}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\overset{\times 5}{\mathop{\Rightarrow }}\,....\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,....$
${{10}^{3}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow ....\times {{10}^{3}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,....$
${{10}^{2}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow 1\times {{10}^{2}}\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,....$
$10\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow 1\times 10\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,....$
$2\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,2$
با جمع طرفین همنهشتیها داریم:
$A\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1+3+5+8+1+1+2$
اگر دقت کنید سمت راست همنهشتی اخیر مجموع ارقام A است. بنابراین میتوان گفت «باقیماندهٔ تقسیم هر عدد بر 9 برابر است با باقیماندهٔ تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 9»
عدد n رقمی $A={{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}....{{a}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{0}}$ را بسط دهید و در همنهشتی به پیمانهٔ 9 بهجای هر توان 10 عدد 1 را قرار دهید، سپس همین نتیجهگیری را در حالت کلی بررسی کنید.
$\begin{align}
& A={{10}^{n-1}}\times {{a}_{n-1}}+....+....+....+{{10}^{2}}{{a}_{2}}+10\,{{a}_{1}}+10{{\,}^{0}}{{a}_{0}} \\
& \Rightarrow A\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,1\times {{a}_{n-1}}+....+1\times {{a}_{1}}+{{a}_{0}} \\
& \Rightarrow A\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,.... \\
\end{align}$
کار در کلاس (صفحهٔ 23 کتاب درسی)
1- با توجه به اینکه $10\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,1$، نتیجه میگیریم، $\forall k\in \mathbb{N}\,,\,{{10}^{k}}\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,1$، بنابراین، مشابه فعالیت قبل، باقیماندهٔ تقسیم عدد $A=598348$ را بر 3 بیابید و سپس یک قاعده کلی برای یافتن باقیمانده تقسیم و بخشپذیری اعداد n رقمی بر 3 بیان کنید.
2- میدانیم که $10\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,-1$؛ بنابراین برای هر n زوج، ${{10}^{n}}\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,1$ و برای هر n فرد، ${{10}^{n}}\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,-1$. حال اگر در همنهشتی به پیمانهٔ 11 و در بسط عدد $A=4985327$ بهجای توانهای زوج عدد 10، عدد یک و بهجای توانهای فرد عدد 10، عدد (1-) قرار دهیم باقیماندهٔ تقسیم عدد A را بر 11 بیابید.
$\begin{align}
& A=4\times {{10}^{6}}+9\times {{10}^{5}}+8\times {{10}^{4}}+....+2\times 10+7 \\
& \Rightarrow A\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,4\times ....+....\times (-1)+....\times 1+....+2\times (-1)+7 \\
& \Rightarrow A\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,7-2+3-5+8-9+4=6\Rightarrow r=.... \\
\end{align}$
3- میدانیم $10\overset{2}{\mathop{\equiv }}\,0$ و $10\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0$ و $10\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,....$ در اینصورت:
$\forall k\in \mathbb{N}\,;\,{{10}^{k}}\overset{2}{\mathop{\equiv }}\,....\,\,\,,\,\,\,{{10}^{k}}\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,....\,\,\,,\,\,\,{{10}^{k}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,0$
بنابراین اگر در بسط هر عدد n رقمی مانند $A=\overline{{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}....{{a}_{2}}{{a}_{1}}{{a}_{0}}}$ بهجای توانهای عدد 10 (در همنهشتیهای به پیمانهٔ 2 و 5 و 10) صفر قرار دهیم خواهیم داشت:
$\begin{align}
& A={{10}^{n-1}}{{a}_{n-1}}+{{10}^{n-2}}{{a}_{n-2}}+....+{{10}^{2}}{{a}_{2}}+{{10}^{2}}{{a}_{1}}+{{a}_{0}} \\
& \Rightarrow A\overset{2}{\mathop{\equiv }}\,0\times {{a}_{n-1}}+....+....+....\times {{a}_{2}}+....+{{a}_{0}} \\
& \Rightarrow A\overset{2}{\mathop{\equiv }}\,....\,\,,\,\,A\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,....\,\,,\,\,A\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{a}_{0}} \\
\end{align}$
نتیجهٔ حاصل را برای یافتن باقیماندهٔ تقسیم اعداد n رقمی بر 2 و 5 و 10 و شرط بخشپذیری بر این اعداد را بیان کنید.
یکی از کاربردهای همنهشتی در تقویمنگاری و محاسبهٔ روزهای هفته بر حسب تاریخ داده شده است. بهعنوان مثال: اگر اول مهر ماه در یک سال یکشنبه باشد، 22 بهمن در همان سال چه روزی از هفته خواهد بود؟ برای پاسخ دادن به سؤالاتی شبیه این سؤال فعالیت زیر را انجام دهید.
فعالیت (صفحهٔ 24 کتاب درسی)
میدانیم هر روز از روزهای هفته، مثلاً شنبه، پس از گذشت 7 روز دوباره تکرار میشود. بهعنوان مثال اگر 12 فروردین در یک سال یکشنبه باشد در اینصورت $19=12+7$ فروردین و $26=19+7$ فرپردین نیز یکشنبه میباشد. در بحث تقویم و روزهای هفته دقت دارید که شش ماه اول سال همگی 31 روزه و شش ماه دوم سال غیر از اسفند (که، بهجز سال کبیسه، 29 روز است) همگی 30 روزه است.
حال فرض کنید در یکسال 9 دی ماه یکشنبه باشد، در همان سال 28 دی ماه چند شنبه است؟
با توجه به مطالب مذکور 16 دی و 23 دی یکشنبه بوده و کافی است از 23 دی تا 28 دی 5 روز بعد را حساب کنیم که به روز .... میرسیم.
حال اگر فاصلهٔ 9 دی ماه تا 28 دی را حساب کنیم $\left( 28-9-19 \right)$ مشاهده میشود که 19 روز فاصله داریم و چون $19\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,5$ لذا کافی است یکشنبه را مطابق جدول زیر مبدأ فرض کرده و مشخص کنیم که 5 روز بعد چه روزی از هفته است یا عدد 5 متناظر با کدام روز است.
| ی | د | س | چ | پ | ج | ش |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1- اگر در یک سال، اول مهر شنبه باشد در اینصورت 12 بهمن در همان سال چه روزی است؟
| ش | ی | د | س | چ | پ | ج |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
29 روز در مهر ماه و سه ماه آبان، آذر و دی و 12 روز تا 12 بهمن، فاصلهٔ 1 مهر است تا 12 بهمن؛ یعنی $d=29+3\times 30+12=131$
از طرفی $131\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,....$ و با توجه به جدول فوق روز متناظر با عدد ..... پنجشنبه است، یعنی 12 بهمن در آن سال پنجشنبه است.
2- از روی تقویم سال جاری روز هفته را برای هفتم تیر مشخص کنید و با توجه به آن و به روش فوق مشخص کنید که 22 بهمن در سال جاری چه روزی از هفته خواهد بود. درستی پاسخ خود را از روی تقویم نیز بررسی کنید.
معادلهٔ همنهشتی
بهعنوان مثال، معادلهٔ $x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,2$ را در نظر بگیرید. در این معادله x میتواند 2 یا 5 باشد. عدد بعدی که میتواند بهجای x قرار بگیرد و در معادله صدق کند عدد 8 است و اگر بخواهیم تمام جوابهای این معادله یا جوابهای عمومی آنرا داشته باشیم کافی است از تعریف همنهشتی استفاده کنیم،
$x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,2\Rightarrow 3|x-2\Rightarrow \left( x-2 \right)=3k\Rightarrow x=3k+2$
که اگر k را بهترتیب صفر و 1 و 2 قرار بدهیم همان جوابهای ${{x}_{0}}=2$ و ${{x}_{0}}=5$ و ${{x}_{0}}=8$ را بهدست میآوریم و برای هر $k\in \mathbb{Z}$، جوابی برای معادله بهدست میآید. در معادلهٔ فوق ضریب x عدد یک است و اگر ضریب x عددی غیر از یک باشد برای دستیابی به جوابهای عمومی معادله باید ضریب x را حذف کنیم که ویژگیهای 5 و 6 و نتیجه ویژگی 6 به ما کمک میکنند.
مثال: جوابهای عمومی معادلهٔ $4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,17$ را بهدست آورید.
$4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,17\,\,,\,\,17\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2\Rightarrow 4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2$
$4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,2+\left( 2\times 5 \right)$ ویژگی 5
$\Rightarrow 4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,12\overset{\left( 4,5 \right)=1}{\mathop{\Rightarrow }}\,\cancel{4}x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{4}\times 3$
$\Rightarrow x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,3\Rightarrow x=5k+3$
$\left( 5|x-3\Rightarrow x-3=5k\Rightarrow x=5k+3 \right)$
مثال: همهٔ اعداد صحیحی را بیابید که سه برابر آنها منهای 13 بر 7 بخشپذیر باشند.
حل: اگر آن عدد را x فرض کنیم باید $7|3x-13$ یا $3x\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,13$
$3x\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,13\Rightarrow 3x\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,13-7=6$
$\overset{\left( 3,7 \right)=1}{\mathop{\Rightarrow }}\,\cancel{3}x\overset{7}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{3}\times 2\Rightarrow x=7k+2$
نتیجه: اگر $\left( a,m \right)=1$ چون برای هر b، همواره $1|b$ پس معادلهٔ $ax\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ همواره دارای جواب است.
مثال: معادلهٔ $6x\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,11$ دارای جواب نیست زیرا، $\left( 6,9 \right)=3$ و $3\cancel{|}11$ و معادلهٔ $4x\overset{6}{\mathop{\equiv }}\,18$ دارای جواب است. چرا؟
$4x\overset{6}{\mathop{\equiv }}\,18\Rightarrow 2\times 2x\overset{6}{\mathop{\equiv }}\,2\times 9\,,\,\left( 2,6 \right)=2$
$\Rightarrow 2x\overset{\frac{6}{2}}{\mathop{\equiv }}\,9$ ویژگی 6
$\Rightarrow 2x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,9$
$2x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,9+3=12$
$\Rightarrow \cancel{2}x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{2}\times 6\Rightarrow x=3k+6$
حل معادلات سیّاله و کاربردهای آن
فعالیت (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
1- آیا میتوانید یک کیسهٔ 19 کیلویی را با وزنههای 3 و 4 کیلویی وزن کنید؟ (میتوانید از یکی از دو وزنه یا هر دو با هم استفاده کنید و از هر وزنه به تعداد کافی در اختیار داریم)
یک جواب مسئله استفاده از 4 وزنهٔ 4 کیلویی و یک وزنهٔ 3 کیلویی است.
$4\times ....+1\times 3=....$
آیا برای این مسئله میتوانید یک جواب دیگر بیابید؟
$1\times ....+....\times 5=19$
در واقع شما بهدنبال جوابهای حسابی (صحیح و نامنفی) برای معادلهٔ $4\times x+3\times y=19$ هستید.
(x تعداد وزنههای 4 کیلویی بهکار رفته و y تعداد وزنههای 3 کیلویی بهکار رفته است)
2- اگر در قسمت قبل بخواهیم فقط از وزنههای 2 و 4 کیلویی استفاده کنیم آیا عمل توزین امکانپذیر است؟
باید جوابهایی چون $y\in W$ و x بیابیم که $....\times x+....\times y=....$ چون مجموع دو عدد زوج همواره ....... است پس چنین x و yای در W وجود ندارد.
تبدیل یک معادلۀ سیّاله به معادلۀ همنهشتی
معادلهٔ سیّالهٔ $ax+by=c$ دارای دو مجهول است و به دو صورت میتواند به یک معادلهٔ همنهشتی (با مجهول x یا y ) تبدیل شود:
$\begin{align}
& ax+by=c\Rightarrow ax-c=\left( -b \right)y\Rightarrow -b|ax-c\Rightarrow b|ax-c \\
& \Rightarrow ax\overset{b}{\mathop{\equiv }}\,c\left( b\gt 0 \right)\,\,,\,\,ax\overset{-b}{\mathop{\equiv }}\,c\left( b\lt 0 \right)\,\,\,*\,\,\,ax\overset{\left| b \right|}{\mathop{\equiv }}\,c \\
\end{align}$
و به طریق مشابه میتوان نوشت:
$by\overset{-a}{\mathop{\equiv }}\,c\,\,\,,\,\,\,by\overset{a}{\mathop{\equiv }}\,c$
کار در کلاس (صفحهٔ 27 کتاب درسی)
1- با تبدیل معادلهٔ سیالهٔ $4x+5y=9$ به معادلهٔ همنهشتی و حل آن، جوابهای عمومی این معادلهٔ سیّاله را بیابید.
$\begin{align}
& 4x+5y=9\Rightarrow 4x\overset{....}{\mathop{\equiv }}\,.... \\
& \Rightarrow 4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,9-....\Rightarrow 4x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,4 \\
& \Rightarrow x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,....\Rightarrow x=5k+.... \\
& \Rightarrow 4(5k+1)+5y=9 \\
& \Rightarrow 20k+4+5y=9 \\
& \Rightarrow 20k+5y=5 \\
& \Rightarrow 4k+y=1\Rightarrow y=....k+1 \\
\end{align}$
2- در قسمت 1 فعالیت قبل مشخص کنید به چند طریق میتوان عمل وزن کردن را انجام داد.
کافی است جوابهای عمومی معادلهٔ $4x+3y=19$ را (برحسب k) بیابیم و بهازای هر $k\in \mathbb{Z}$ که x و y منفی نباشند تعداد حالتها را شمارش کنیم:
$\begin{align}
& 4x+3y=19\Rightarrow 4x\overset{....}{\mathop{\equiv }}\,.... \\
& \Rightarrow 4x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow 4x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,1+.... \\
& \Rightarrow \cancel{4}x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{4}\times 1\Rightarrow \underline{x=3k+1} \\
& \Rightarrow 4(3k+1)+3y=19 \\
& \Rightarrow 12k+4+3y=19 \\
& \Rightarrow 12k+3y=....\Rightarrow ....+y=5 \\
& \Rightarrow y=-4k+5 \\
\end{align}$
$k=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x=1 \\
& y=5 \\
\end{align} \right.$
$k=....\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x=4 \\
& y=1 \\
\end{align} \right.$
بهازای $k=2$ و بیشتر از آن $y\lt 0$ و بهازای $k=-1$ و کمتر از آن $x\lt 0$ که قابل قبول نمیباشند و لذا به دو صورت فوق میتوان این کیسهٔ 19 کیلویی را وزن کرد.
مثال: به چند طریق میتوان 18000 تومان را به اسکناسهای 2000 و 5000 تومانی تبدیل کرد؟
حل: اگر x و y را بهترتیب تعداد اسکناسهای 2000 و 5000 تومانی فرض کنیم حل ان مثال معادل است با تعداد جوابهای نامنفی $2000x+5000y=18000$
$\begin{align}
& 2000x+5000y=18000 \\
& \Rightarrow 2x+5y=.... \\
& \Rightarrow 2x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,18\,,\,18\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,.... \\
& \Rightarrow \cancel{2}x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{2}\times 4 \\
& \Rightarrow x\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,....\Rightarrow \underline{x=5k+4} \\
& \Rightarrow 2(5k+4)+5y=18 \\
& \Rightarrow 10k+8+5y=18 \\
& \Rightarrow 10k+5y=10\Rightarrow \underline{y=-2k+2} \\
\end{align}$
(فقط بهازای 1 و $k=0$ برای x و y جوابها نامنفی هستند)
$k=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x=4 \\
& x=2 \\
\end{align} \right.$
$k=1\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& x=9 \\
& x=0 \\
\end{align} \right.$
پس به دو طریق امکان تبدیل کردن 18000 تومان به اسکناسهای 2000 و 5000 تومانی، وجود دارد.
مثال: در یک رستوران فقط دو نوع خورش قورمه سبزی و قیمه وجود دارد. اگر 5 نفر وارد این رستوران شوند به چند طریق میتوانند سفارش غذا بدهند؟ (هر نفر فقط یک پرس غذا میل میکند)
حل: اگر تعداد چلو خورش قورمه سبزی و چلو خورش قیمهٔ سفارش داده شده را بهترتیب با x و y نشان دهیم خواهیم داشت:
$\begin{align}
& x+y=5\Rightarrow x\overset{1}{\mathop{\equiv }}\,5\Rightarrow \underline{x=k+....} \\
& \Rightarrow k+\cancel{5}+y=\cancel{5}\Rightarrow \underline{y=....} \\
\end{align}$
چون x و y اعدادی نامنفی هستند پس باید $k\in \left\{ 0,-1,-2,-3,-4,-5 \right\}$ و لذا به 6 طریق میتوانند سفارش غذا بدهند.
مثال: تیراندازی بهسمت یک هدف، شامل دو دایرهٔ هم مرکز، تیراندازی میکند. اگر او تیر را به دایرهٔ با شعاع کوچک تر بزند 5 امتیاز و اگر به دایرهٔ بزرگتر و خارج دایرهٔ کوچکتر بزند 3 امتیاز میگیرد. اگر او کمتر از 15 تیر انداخته و همهٔ تیرها به داخل دایرهٔ بزرگتر اصابت کرده باشد و در پایان 42 امتیاز گرفته باشد چند حالت برای او در این تیراندازی میتواند ثبت شود؟
حل: اگر x و y را بهترتیب تعداد اصابتها به دایره کوچکتر و بزرگتر فرض کنیم، داریم:
$\begin{align}
& 5x+3y=42\Rightarrow 5x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,42 \\
& \Rightarrow 5x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,42+3\Rightarrow \cancel{5}x\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,\cancel{5}\times 9 \\
& \Rightarrow \underline{x=3k+9} \\
& 5(3k+9)+3y=42 \\
& \Rightarrow 15k+45+3y=42 \\
& \Rightarrow 15k+3y=-3\Rightarrow \underline{y=-5k-1} \\
\end{align}$
$x,y\in W\Rightarrow k\in \left\{ -1,-2,-3 \right\}$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 6\\
y = 4
\end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 9
\end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 14
\end{array} \right.$
($x=6$ و $y=4$ یعنی تیرانداز 6 تیر را به دایرهٔ کوچکتر و 4 تیر را به دایرهٔ بزرگتر زده است).
تمرین (صفحهٔ 29 کتاب درسی)
1- عدد 1398 به کدام دستهٔ همنهشتی به پیمانهٔ 9 تعلق دارد؟
2- اگر $k\in \mathbb{Z}$، ثابت کنید فقط یکی از سه حالت زیر امکانپذیر است.
$k\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,0\,\,\,*\,\,\,k\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,1\,\,\,*\,\,\,k\overset{3}{\mathop{\equiv }}\,2$
(بهعبارت دیگر، $k\in {{\left[ 0 \right]}_{3}}$ یا $k\in {{\left[ 1 \right]}_{3}}$ یا $k\in {{\left[ 2 \right]}_{3}}$)
3- اگر $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ و $n|m$ ثابت کنید $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$.
4- فرض کنیم، $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ و $b\overset{n}{\mathop{\equiv }}\,c$ و $\left( m,n \right)=d$ در اینصورت ثابت کنید $a\overset{d}{\mathop{\equiv }}\,c$.
5- ثابت کنید: اگر باقیماندههای تقسیم دو عدد a و b بر m مساوی باشند آنگاه $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$.
6- عکس تمرین 5 را بیان و اثبات کنید.
7- با استفاده از بسط دوجملهای خیام یعنی،
${(a + b)^n} = \left( \begin{array}{l}
n\\
0
\end{array} \right) \times {a^n} + \left( \begin{array}{l}
n\\
1
\end{array} \right) \times {a^{n - 1}}b + \left( \begin{array}{l}
n\\
2
\end{array} \right) \times {a^{n - 2}}{b^2} + \left( \begin{array}{l}
n\\
3
\end{array} \right) \times {a^{n - 3}}{b^3} + ... + \left( \begin{array}{l}
n\\
n
\end{array} \right) \times {b^n}$
ثابت کنید که برای هر $n\in \mathbb{N}$ و $a,b\in \mathbb{Z}$ همواره ${{(a+b)}^{n}}\overset{ab}{\mathop{\equiv }}\,{{a}^{n}}+{{b}^{n}}$.
8- با توجه به تمرین 7 ثابت کنید عدد ${{23}^{51}}-{{11}^{51}}-{{12}^{51}}$ بر عدد 132 بخشپذیر است.
9- باقیمانده تقسیم عدد $A=({{2}^{11}}+7)\times 9$ را بر 23 بیابید.
10- اگر دو عدد $(3a-5)$ و $(4a-7)$ رقم یکان برابر داشته باشند رقم یکان عدد $(9a+6)$ را بهدست آورید.
11- باقیمانده تقسیم عدد $A=1!+2!+3!+...+500!$ را بر 23 بیابید.
12- جوابهای عمومی معادلهٔ سیالهٔ خطی $7x+5y=11$ را بهدست آورید.
13- به چند طریق می توان 29000 تومان را به اسکناسهای 2000 و 5000 تومانی تبدیل کرد؟
14- معادلههای همنهشتی زیر را در صورت امکان حل کرده و جوابهای عمومی آنها را بهدست آورید.
$423x\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,79$ (الف
$8x\overset{12}{\mathop{\equiv }}\,20$ (ب
$51x\overset{6}{\mathop{\equiv }}\,11$ (ج
15- اگر اوّل مهرماه در یک سال روز یکشنبه باشد، 7 اسفندماه در همان سال چه روزی از هفته است؟
16- اگر 12 بهمن در یک سال جمعه باشد، 31 مرداد ماه در همان سال چه روزی از هفته است؟
17- همهٔ اعداد صحیح چون a را بیابید که 5 برابر آنها بهعلاوهٔ 9 بر 11 بخشپذیر باشد.
18- به چند طریق میتوان یک کیسهٔ 23 کیلویی را با وزنههای 3 و 5 کیلویی وزن کرد؟
19- به چند طریق میتوان از بین دو نوع گل یک دسته گل شاملِ 9 شاخه به دلخواه انتخاب کرد؟
20- شخصی در یک مسابقهٔ علمی شرکت کرده است. او به سؤالات 7 امتیازی و 9 امتیازی پاسخ داده و مجموعاً 73 امتیاز کسب کرده است. این شخص به چه صورتهایی توانسته این امتیاز را بهدست آورد؟ (پاسخ به هر سؤال یا امتیاز کامل دارد و یا امتیازی ندارد)