درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 1: هندسه تحلیلی
یادآوری و تکمیل معادلهٔ خط
در بسیاری از پدیدههای جهان، رابطهٔ خطی بین متغیرها به چشم میخورد. بنابراین مطالعهٔ تابعهای خطی اهمیت ویژهای پیدا میکند. در سالهای قبل با مطالبی در این زمینه آشنا شدیم. در این درس نکات دیگری را در این باره، مورد مطالعه قرار میدهیم.
کار در کلاس (صفحه 2 تا 3 کتاب درسی)
1) به طور شهودی میتوان دید که از هر دو نقطهٔ متمایز، تنها یک خط عبور میکند؛ بنابراین:
الف- با داشتن مختصات ........ نقطه از یک خط باید بتوان معادلهٔ آن را بهدست آورد.
ب- با داشتن معادلهٔ یک خط میتوان با مشخص کردن ........ نقطه از خط، نمودار آن را در دستگاه مختصات رسم کرد.
2) نمودار خطوط با معادلات زیر را در دستگاه مختصات مشخص شده، رسم کنید:
${{L}_{1}}:y=2x+1$ -الف
${{L}_{2}}:y=2x-3$ -ب
${{L}_{3}}:y=1$ -پ
${{L}_{4}}:x=-2$ -ت
${{L}_{5}}:x+2y=2$ -ث
3) معادلهٔ هریک از خطهای نمایش داده شده روی شکل را بنویسید.
4) الف- میدانیم که شیب یک خط برابر است با نسبت جابهجایی عمودی به جابهجایی ........؛ به عبارت دیگر شیب خط گذرا از دو نقطهٔ غیر هم طول $A$ و $B$ برابر است با:
${{m}_{AB}}=\frac{...........}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}$
ب- شرط موازی بودن دو خط آن است که دارای ........ برابر باشند.
5) الف- از پایهٔ نهم به خاطر داریم که هرگاه خط $L$ محور $y$ها را در نقطهای با عرض $h$ قطع کند، آنگاه $h$، ......................... خط $L$ نامیده میشود.
ب- در سؤال 2، شیب و عرض از مبدأ هریک از پنج خط ذکر شده را بنویسید. در این سؤال کدام دو خط با هم موازیاند؟
6) الف- خط با شیب $m$ و عرض از مبدأ $h$ معادلهای بهصورت ........... $y=$ دارد.
ب- میخواهیم معادلهٔ خط $L$، گذرا از دو نقطهٔ $A(0,\,7)$ و $B(3,\,1)$ را بنویسیم. برای این کار، ابتدا شیب خط را محاسبه میکنیم:
$m=\frac{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{1-7}{3-0}=-2$ :شیب خط
$y=-2x+h$ :معادلهٔ خط
$B(3,\,1):1=-2(3)+h\Rightarrow h=7$ روی خط $L$ واقع است
البته اگر به مختصات نقطهٔ $A(0,\,7)$ از خط $L$ دقت کنیم، بدون محاسبه متوجه میشویم که عرض از مبدأ این خط $h=7$ است. پس:
$:y=-2x+7$ معادلهٔ خط $L$
پ- معادلهٔ خط گذرنده از نقطهٔ $P(2,\,-1)$ را بنویسید؛ بهطوری که با خط $y=3x-4$ موازی باشد.
فعالیت (صفحه 3 کتاب درسی)
1) دو خط $L$ و $\Delta $ را عمود بر هم رسم کردهایم. به شیبهای این دو خط توجه میکنیم:
$:m=\frac{{{y}_{P}}-{{y}_{A}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{A}}}=\frac{3-4}{2-0}=\frac{-1}{2}$ شیب خط $L$ گذرا از نقاط $A$ و $P$
$:{m}'=.....$ شیب خط $\Delta $ گذرا از نقاط $B$ و $P$
2) حاصل ضرب شیبهای دو خط را بهدست میآوریم: $m{m}'=(\frac{-1}{2})(.....)=.....$ میبینیم که شیبها، قرینهٔ معکوسِ یکدیگرند.
3) اگر خط دلخواه دیگری مثل $T$ عمود بر $L$ را در نظر بگیریم، این خط حتماً با خط $\Delta $ ............ است؛ پس شیب خط $T$ برابر عدد ............ خواهد بود. بنابراین میتوان گفت شیب هر خطِ عمود بر $L$ برابر قرینهٔ ............ شیب خط $L$ خواهد بود. این مطلب در حالت کلی درست است یعنی
کار در کلاس (صفحه 4 کتاب درسی)
1) در هر قسمت شیب دو خط داده شده را بهدست آورید و مشخص کنید که دو خط نسبت به هم چه وضعی دارند. (موازی، عمود یا متقاطِع غیر عمود؟)
$L:y=5x-2$ -الف
$T:y=\frac{-1}{5}x+3$
$L:=y=\frac{1}{2}x+7$ -ب
$T:y=\frac{-1}{5}x+3$
$L:2x-3y+3=0$ -پ
$T:3x+2y=0$
$L:x=1$ -ت
$T:y=-3$
$L:y=3x+1$ -ث
$T:x=3y-1$
2) خط $L$ به معادلهٔ $2y-3x=1$ و خط $T$ با عرض از مبدأ 5 به معادلهٔ $y=mx+5$ را در نظر بگیرید.
الف- $m$، را طوری بیابید که خط $T$ با خط $L$ موازی باشد.
ب- به ازای چه مقداری از $m$، دو خط بر یکدیگر عمودند؟
3) مربع $ABCD$ در ناحیهٔ اول صفحهٔ مختصات واقع است، به طوری که $A(5,\,1)$ و $B(10,\,4)$ دو رأس مجاور آن هستند.
الف- شیب ضلع $AB$ را بنویسید.
ب- شیب ضلع $AD$ را حساب کنید و معادلهٔ این ضلع را بنویسید.
پ- اگر بدانیم نقطهٔ $C(7,\,9)$ رأس سوم مربع است، مختصات رأس $D$ بیابید.
ت- مربع را بهطور کامل رسم کنید.
فاصلهٔ دو نقطه
فعالیت (صفحه 4 تا 5 کتاب درسی)
در این دستگاه مختصات:
الف- فاصلهٔ دونقطهٔ $A$ و $B$ که برابر طول پارهخط $AB$ است، برابر 5 است. چه رابطهای بین این عدد با ${{x}_{A}}$ و ${{x}_{B}}$ وجود دارد؟
ب- فاصلهٔ دو نقطه $C$ و $D$ را برحسب عرض آنها بیان کنید.
پ- در شکل زیر، فاصلهٔ نقاط $AB$ را برحسب طول آنها و فاصلهٔ دو نقطهٔ $C$ و $D$ را برحسب عرض آنها بهدست آورید.
$AB=$
$CD=$
فعالیت (صفحه 5 کتاب درسی)
1) در شکل زیر فاصلهٔ دو نقطهٔ $A$ و $B$ را با خطکش بهدست آورید.
2) بدون استفاده از خطکش، طول پارهخط $AB$ را بهدست آورید. برای این کار از چه رابطهای استفاده میکنید؟
3) در شکل زیر:
الف- مختصات نقطهٔ $H$ را بنویسید.
ب- طول پارهخطهای $AH$ و $BH$ را مشخص کنید و روی شکل بنویسید.
پ- طول $AB$ را به کمک قضیهٔ فیثاغورس بهدست آورید.
با توجه به فعالیت قبل میتوان گفت:
کار در کلاس (صفحه 6 کتاب درسی)
1) نقاط $A(2,\,0)$، $B(5,\,4)$ و $C(-2,\,3)$ را در نظر بگیرید و آنها را روی دستگاه مختصات مشخص کنید.
الف- محیط مثلث $ABC$ را با محاسبهٔ طول اضلاع آن بهدست آورید.
$AB=\sqrt{{{({{x}_{A}}-{{x}_{B}})}^{2}}+{{({{y}_{A}}-{{y}_{B}})}^{2}}}=\sqrt{{{(2-5)}^{2}}+{{(0-4)}^{2}}}=\sqrt{9+16}=5$
$AC=....$
$BC=....$
$:P=.....$ محیط
ب- $ABC$ چه نوع مثلثی است؟
پ- به دو روش نشان دهید $ABC$ یک مثلث قائمالزاویه است. سپس مساحت آن را حساب کنید.
2) در یکی از جادههای کشور، تصادفی رخ داده است که مختصات نقطهٔ تصادف روی نقشهٔ مرکز امداد بهصورت $P(50,\,30)$ است. پایگاههای امداد هوایی که به محل تصادف نزدیکاند، در نقاط $A(10,\,-20)$ و $B(80,\,90)$ واقعاند. شما کدام پایگاه را برای اعزام بالگرِد امداد به محل حادثه پیشنهاد میکنید؟ (اعداد برحسب کیلومتر هستند).
3) الف- فاصلهٔ نقطهٔ $N(-6,\,8)$ تا مبدأ مختصات را محاسبه کنید.
ب- فاصلهٔ نقطهٔ $E({{x}_{E}},\,{{y}_{E}})$ تا مبدأ مختصات را بهدست آورید.
مختصات نقطهٔ وسط پارهخط
فعالیت (صفحه 6 تا 7 کتاب درسی)
در این دستگاه مختصات:
الف- نقطهٔ وسط پارهخط $AB$ را $M$ بنامید و $M$ را به همراه مختصات آن روی شکل مشخص کنید.
ب- نقطهٔ وسط پارهخط $CD$ را $N$ بنامید و $N$ را به همراه مختصات آن روی شکل مشخص کنید.
پ- مطابق شکل، $A$ و $B$ دو نقطهٔ دلخواه روی محور $x$ها هستند. اگر $M$ وسط $AB$ باشد، طول نقطهٔ $M$ را بهدست آورید.
$M\Rightarrow AM=MB$ وسط $AB$
$\Rightarrow {{x}_{M}}-{{x}_{A}}=......$
$\Rightarrow 2{{x}_{M}}=......\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{......}$
ت- در شکل زیر $C$ و $D$ دو نقطهٔ دلخواه روی محور $y$ها هستند. اگر $N$ وسط $CD$ باشد، عرض نقط $N$ را بیابید.
$N\Rightarrow .........$ وسط $CD$
${{y}_{N}}=\frac{....}{2}$
ث- اگر $A$ و $B$ دو نقطهٔ دلخواه در صفحهٔ مختصات باشند و $M$ نقطهٔ وسط $AB$، آنگاه با توجه به شکل زیر میتوان نشان داد:
کار در کلاس (صفحه 7 تا 8 کتاب درسی)
1) مثلث با رأسهای $A(1,\,9)$، $B(3,\,1)$ و $C(7,\,11)$ را در نظر بگیرید و آن را در دستگاه مختصات زیر مشخص کنید.
الف- مختصات $M$، نقطهٔ وسط ضلع $BC$ را مشخص کنید.
ب- طول میانهٔ $AM$ را محاسبه کنید.
پ- معادلهٔ خطی که میانهٔ $AM$ روی آن قرار دارد را بهدست آورید.
2) الف- نقطهٔ $N(5,\,-4)$ وسط پارهخط واصل بین دو نقطهٔ $A$ و $N(7,\,-2)$ است. مختصات نقطهٔ $A$ را بیابید.
ب- قرینهٔ نقطهٔ $N(1,\,2)$ نسبت نقطهٔ $N(-1,\,4)$ را بهدست آورید.
پ- قرینهٔ نقطهٔ $P(\alpha ,\,\beta )$ نسبت به مبدأ مختصات را بهدست آورید.
3) سود سالانهٔ یک کارگاه کوچک تولیدی از سال 1385 تا 1395 طبق نمودار زیر سیر صعودی داشته است. به کمک رابطهٔ نقطهٔ وسط پارهخط، به سؤالات زیر پاسخ دهید:
الف- میانگین سود سالانهٔ این شرکت در دههٔ مورد نظر چقدر بوده است؟
ب- در کدام سال، مقدار سود سالانه، با این میانگین سود ده ساله برابر بوده است؟
پ- اگر سود سالانه در طول یک دههٔ آینده با همین روند افزایش یابد، انتظار میرود در سال 1405 سود سالانه شرکت چقدر باشد؟
فاصلهٔ نقطه از خط
اگر $A$ نقطهای خارج خط $L$ باشد، فاصلهٔ نقطهٔ $A$ تا خط $L$ برابر است با طول پارهخطی که از $A$ عمود بر $L$ رسم میشود. در اینجا میخواهیم با داشتن مختصات نقطهٔ $A$ و معادلهٔ خط $L$ این فاصله را محاسبه کنیم.
مثال: فاصلهٔ نقطهٔ $A(7,\,5)$ را از خط $L$ به معادلهٔ $4x+3y=18$ بهدست آورید.
حل: چون شیب خط $L$ برابر $\frac{-4}{3}$ است، پس هر خطِ عمود بر آن دارای شیب $\frac{3}{4}$ خواهد بود. معادلهٔ خط $\Delta $ گذرنده از $A$ و عمود بر $L$ را مینویسیم.
$\Delta :y=\frac{3}{4}x+h$
$A(7,\,5):5=\frac{3}{4}(7)+h\Rightarrow h=\frac{-1}{4}$ روی $\Delta $ است
$:y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\Rightarrow \Delta :3x-4y=1$ معادله $\Delta $
اگر معادلهٔ دو خط $L$ و $\Delta $ را به صورت یک دستگاه معادلات خطی در نظر بگیریم، از حل آن مختصات نقطهٔ $P$، محل برخورد دو خط بهدست میآید.
$\begin{matrix} L: \\ \Delta : \\ \end{matrix}\left\{ \begin{align} & 4x+3y=18 \\ & 3x-4y=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x=3\,\,\,\,,\,\,\,\,y=2\Rightarrow P(3,\,2)$
طول پارهخط $AP$ جواب مسئله است.
$AP=\sqrt{{{({{x}_{A}}-{{x}_{P}})}^{2}}+{{({{y}_{A}}-{{y}_{P}})}^{2}}}=\sqrt{{{(7-3)}^{2}}+{{(5-2)}^{2}}}=\sqrt{16+9}=5$
با به کارگیری مراحل حل این مثال در حالت کلی میتوان ثابت کرد:
حال مثال قبل را به کمک این رابطه حل میکنیم؛ یعنی فاصلهٔ $A(7,\,5)$ را از خط به معادلهٔ $4x+3y-18=0$ بهدست میآوریم:
$d=\frac{\left| 4(7)+3(5)-18 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{\left| 25 \right|}{5}=5$
کار در کلاس (صفحه 9 کتاب درسی)
1) فاصلهٔ نقطهٔ $P(7,\,-4)$ را از هر یک از خطوط با معادلههای زیر بهدست آورید:
$L:2x+y=5$ -الف
$T:x=5$ -ب
$\Delta :y=0$ -پ
2) خط $L:3x-4y=0$ بر دایرهای به مرکز $W(2,\,-1)$ مماس است. شعاع دایره را بیابید. (راهنمایی: خط مماس بر دایره بر شعاع گذرنده از نقطهٔ تماس عمود است).
تمرین (صفحه 9 تا 10 کتاب درسی)
1) وضعیت هر جفت از خطوط زیر را نسبت به هم مشخص کنید:
$L:2x-y=1$
$T:y=2x-3$
$\Delta :x+2y=0$
2) دو نقطهٔ $A(14,\,3)$ و $B(10,\,-13)$ را در نظر بگیرید. فاصلهٔ مبدأ مختصات را از وسط پارهخط $AB$ بهدست آورید.
3) نشان دهید مثلث با رأسهای $A(1,\,2)$، $B(2,\,5)$ و $C(4,\,1)$ یک مثلث متساویالساقینِ قائمالزاویه است.
4) دو انتهای یکی از قطرهای دایرهای نقاط $A(2,\,-2)$ و $B(6,\,4)$ هستند.
الف- اندازهٔ شعاع و مختصات مرکز دایره را بیابید.
ب- آیا نقطهٔ $C(7,\,3)$ بر روی محیط این دایره قرار دارد؟ چرا؟
5) نقاط $A(2,\,3)$، $B(-1,\,0)$ و $C(1,\,-2)$ سه رأس از مستطیل $ABCD$ هستند. مختصات رأس چهارم آن را بیابید. (با دانستن این مطلب که در هر مستطیل، قطرها منصف یکدیگرند، آیا میتوانید راهحل کوتاهتری برای مسئله ارائه کنید؟)
6) یک میلهٔ پرچم بزرگ، مطابق شکل توسط کابلهایی به چهار نقطه در زمین محکم شده است؛ بهطوری که فاصلهٔ هر یک از چهار نقطه تا پای میله برابر است با فاصلهٔ نقطهٔ مقابل آن تا پای میله. مختصات نقطهٔ $D$ را بهدست آورید.
7) یکی از اضلاع مربعی برخط $L:y=2x-1$ واقع است. اگر $A(3,\,0)$ یکی از رئوس این مربع باشد، مساحت آن را بهدست آورید.
8) الف- نشان دهید دو خط با معادلات $5x-12y+8=0$ و $-10x+24y+10=0$ با یکدیگر موازیاند.
ب- فاصلهٔ این دو خط را محاسبه کنید. (راهنمایی: یک نقطهٔ دلخواه روی یکی از خطوط در نظر بگیرید و فاصلهٔ آن را از خط دیگر بهدست آورید).
9) طول جغرافیایی تبریز تقریباً 46 درجهٔ شرقی و عرض جغرافیایی آن حدود 38 درجهٔ شمالی است. برای راحتی، میتوانیم موقعیت این شهر را بهطور خلاصه، بهصورت (38 , 46) نشان دهیم. این اطلاعات دربارهٔ چابهار بهصورت (25 , 61) است. با فرض اینکه مسافت فیزیکی هر درجه طول جغرافیایی همانند مسافت فیزیکی هر درجه عرض جغرافیایی برابر 110 کیلومتر باشد، مطلوب است محاسبهٔ فاصلهٔ تقریبی این دو شهر.
