مرحله اول المپیاد ریاضی 1404: روی دایره محیطی مثلث
مرحله اول المپیاد ریاضی 1404: روی دایره محیطی مثلث ABC و متمایز از رئوس مثلث، به گونه‌ای قرار دارند که AX = AB, BY = BC, CZ = CA می‌دانیم مثلثی با طول اضلاع برابر با طول پاره‌خط‌های CX, AY, BZ یک مثلث قائم‌الزاویه با زاویه‌های 30 و 60 است. اختلاف کوچک‌ترین زاویه مثلث ABC با 15 درجه چند است؟
فرض کنید پاسخ مسئله برای n نفر که در یک صف قرار گرفته‌اند برابر با f_n باشد. اگر نفر اول صف قند را در چای خودش بریزد، بقیه افراد به f_{n-1} طریق می‌تواند چای‌هایشان را شیرین کنند و اگر نفر اول قند را در چای نفر دوم بریزد باید قند را در چای نفر اول بریزد و بقیه افراد به f_{n-2} طریق می‌توانند چای‌هایشان را شیرین کنند. بنابراین برای هر n داریم f_n = f_{n-1} + f_{n-2}. چند جمله اول دنباله f_n به این صورت است: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 اگر n نفر دور یک میز باشند و افراد دور میز را شماره‌گذاری کنیم. اگر نفر 1 قند را در چای خودش بریزد چون همه چای‌ها شیرین شده‌اند پس کس دیگری قند در چای شماره 1 نمی‌ریزد و در نتیجه تعداد حالات مطلوب برابر با f_{n-1} خواهد بود. اگر شماره یک قند را در چای شماره 2 بریزد و شماره 2 هم در چای شماره 1 بریزد f_{n-2} حالت خواهیم داشت. و اگر شماره 2 در چای شماره 3 بریزد همه مجبور هستند در چای نفر بعدی بریزند و یک حالت داریم. مشابه این اتفاق زمانی که شماره 1 قند را در چای شماره n بریزد نیز رخ می‌دهد و در نهایت تعداد حالت‌ها برای n نفر دور یک میز برابر f_{n-1} + 2f_{n-2} + 2 می‌شود. خواهد بود که برای n = 8 برابر 49 می‌شود.