مرحله اول المپیاد ریاضی 1404: تابع $ f : \mathbb{Z}
مرحله اول المپیاد ریاضی 1404: تابع $ f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} $ را فاصله‌افزا می‌گوییم اگر برای هر دو عدد صحیح متمایز a, b داشته باشیم: $ |f(a) - f(b)| > |a - b|. $ چندتا از عبارت‌های زیر در مورد این توابع همواره درست هستند؟ · تابع پوشای فاصله‌افزا وجود ندارد. · تابع یک‌به‌یک فاصله‌افزا وجود ندارد. · مجموع هر دو تابع فاصله‌افزا تابعی از همین نوع است. · ترکیب هر دو تابع فاصله‌افزا تابعی از همین نوع است. · ضرب هر دو تابع فاصله‌افزا تابعی از همین نوع است.
گزینه اول درست است. اگر f چنین تابعی باشد و f(a) = 0 و f(b) = 1 ، در این صورت |a - b| باید 0 باشد که ممکن نیست. گزینه دوم نادرست است. f(x) = 2x تابعی با این شرایط است. گزینه سوم نادرست است. f(x) = 2x و g(x) = -2x دو تابع فاصله‌افزا هستند ولی جمع آن‌ها تابع ثابت 0 است که فاصله‌افزا نیست. گزینه چهارم درست است. چون اگر f و g توابعی فاصله‌افزا باشند، برای هر دو عدد صحیح x و y داریم: |f(g(x)) - f(g(y))| > |g(x) - g(y)| > |x - y|. گزینه پنجم نادرست است. f(x) = 2x و g(x) = -2x + 2 فاصله‌افزا هستند ولی ضرب آن‌ها برای x = 1 و x = 0 برابر 0 است.