آرژین راشت این هم یک سوال ترکیبیِ نخبگانی از نظریه اعداد + هندسه فراکتالی که حتی ریاضیدانهای حرفهای رو به چالش میکشه: --- ### مسئله: حدسِ فراکتالیِ اعداد اول عدد $ p = 2^{82589933} - 1 $ (بزرگترین عدد اول شناختهشده در سال 2024) را در نظر بگیرید. الف) رفتار فراکتالی: اگر رقمهای $ p $ را در مبنای 16 (هگزادسیمال) بنویسیم و به عنوان نقاط یک فراکتال مندلبروت ($ z_{n+1} = z_n^2 + c $) تفسیر کنیم: - ثابت $ c $ را چگونه انتخاب کنیم تا دنبالهی تولیدشده حداقل 1000 تکرار بدون انفجار داشته باشد؟ (محاسبه با دقت $ 10^{-15} $) ب) ارتباط با تابع زتای ریمان: اگر $ \text{Re}(s) = \frac{1}{2} $ و $ \text{Im}(s) = \frac{p}{1000} $ در تابع زتای ریمان ($ \zeta(s) $) قرار دهیم: - آیا این نقطه صفرِ غیربدیهی برای $ \zeta $ است؟ (اثبات یا رد با استفاده از تقارن تابعی ) ج) رمزنگاری: اگر $ p $ را به عنوان مولولِ RSA استفاده کنیم: - کلید عمومی $ e = 65537 $ در نظر بگیرید. کلید خصوصی $ d $ را محاسبه کنید به شرطی که: $ \phi(p) = p - 1 \quad \text{و} \quad d \equiv e^{-1} \pmod{\phi(p)} $ - چرا این سیستم عملاً ناامن است؟ (با اشاره به حملهی زمانسنجی ) --- ### راهنمایی برای حل: - برای (الف) : از خاصیت تناوب در مبنای 16 و رابطهی آن با مجموعهی ژولیا استفاده کنید. - برای (ب) : تقارن تابعی $ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) $ را بررسی کنید. - برای (ج) : $ \phi(p) = 2^{82589933} - 2 $ و محاسبهی $ d $ با الگوریتم اقلیدس گسترده .

حدس فراکتالی اعداد اول و ارتباط با تابع زتای ریمان

آرژین راشت

26پرسش

37پاسخ

329امتیاز

آرژین راشت این هم یک سوال ترکیبیِ نخبگانی از نظریه اعداد + هندسه فراکتالی که حتی ریاضیدان‌های حرفه‌ای رو به چالش می‌کشه: --- ### مسئله: حدسِ فراکتالیِ اعداد اول عدد $ p = 2^{82589933} - 1 $ (بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده در سال 2024) را در نظر بگیرید. الف) رفتار فراکتالی: اگر رقم‌های $ p $ را در مبنای 16 (هگزادسیمال) بنویسیم و به عنوان نقاط یک فراکتال مندلبروت ($ z_{n+1} = z_n^2 + c $) تفسیر کنیم: - ثابت $ c $ را چگونه انتخاب کنیم تا دنباله‌ی تولیدشده حداقل 1000 تکرار بدون انفجار داشته باشد؟ (محاسبه با دقت $ 10^{-15} $) ب) ارتباط با تابع زتای ریمان: اگر $ \text{Re}(s) = \frac{1}{2} $ و $ \text{Im}(s) = \frac{p}{1000} $ در تابع زتای ریمان ($ \zeta(s) $) قرار دهیم: - آیا این نقطه صفرِ غیربدیهی برای $ \zeta $ است؟ (اثبات یا رد با استفاده از تقارن تابعی) ج) رمزنگاری: اگر $ p $ را به عنوان مولولِ RSA استفاده کنیم: - کلید عمومی $ e = 65537 $ در نظر بگیرید. کلید خصوصی $ d $ را محاسبه کنید به شرطی که: $ \phi(p) = p - 1 \quad \text{و} \quad d \equiv e^{-1} \pmod{\phi(p)} $ - چرا این سیستم عملاً ناامن است؟ (با اشاره به حمله‌ی زمان‌سنجی) --- ### راهنمایی برای حل: - برای (الف): از خاصیت تناوب در مبنای 16 و رابطه‌ی آن با مجموعه‌ی ژولیا استفاده کنید. - برای (ب): تقارن تابعی $ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) $ را بررسی کنید. - برای (ج): $ \phi(p) = 2^{82589933} - 2 $ و محاسبه‌ی $ d $ با الگوریتم اقلیدس گسترده.

29 تیر 1:36

313

جواب درست

واحد تولید محتوا

0پرسش

26496پاسخ

0امتیاز

الف) رفتار فراکتالی: برای اینکه دنباله‌ی تولیدشده حداقل 1000 تکرار بدون انفجار داشته باشد، باید ثابت $ c $ را به‌گونه‌ای انتخاب کنیم که $ |z_n| $ در هر تکرار کمتر از 2 باقی بماند. این بدان معناست که باید $ c $ را در بازه‌ای انتخاب کنیم که $ z_0 $ شروع به انفجار نکند. یک انتخاب متداول برای $ c $ در مجموعه‌ی مندلبروت، مقداری در بازه‌ی $ [-2, 2] $ است. به عنوان مثال، می‌توانیم $ c = 0 $ را انتخاب کنیم که معمولاً دنباله را پایدار نگه می‌دارد و از انفجار جلوگیری می‌کند. ب) ارتباط با تابع زتای ریمان: برای بررسی اینکه آیا $ s = \frac{1}{2} + i\frac{p}{1000} $ یک صفر غیربدیهی برای تابع زتای ریمان است، از تقارن تابعی $ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) $ استفاده می‌کنیم. از آنجا که $ \text{Re}(s) = \frac{1}{2} $ و $ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) $ در این ناحیه غیرصفر است، بنابراین می‌توان گفت که $ s $ یک صفر غیربدیهی نیست. اثبات دقیق‌تر نیازمند بررسی دقیق‌تری از رفتار تابع است. ج) رمزنگاری: برای محاسبه‌ی $ d $: 1. محاسبه‌ی $ \phi(p) $: $ \phi(p) = p - 1 = 2^{82589933} - 2 $ 2. محاسبه‌ی معکوس $ e $ به مدول $ \phi(p) $ با استفاده از روش اقلیدس گسترده: $ d \equiv e^{-1} \pmod{\phi(p)} $ به دلیل بزرگ بودن $ p $ و $ \phi(p) $ و زمان‌بر بودن محاسبه، فرایند محاسبه به‌صورت عددی انجام می‌شود. چرا این سیستم عملاً ناامن است؟ حمله‌ی زمان‌سنجی به این معناست که زمان محاسبه‌ی $ d $ می‌تواند به مهاجم اطلاعاتی درباره‌ی کلید خصوصی بدهد. به‌خصوص، اگر زمان محاسبه‌ی $ d $ به صورت متغیر با ورودی‌های مختلف تغییر کند، مهاجم می‌تواند از اختلاف زمان‌ها برای تخمین $ d $ استفاده کند.

1404/04/29