[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13422":199,"$f1hyecc3blqx12":223},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":213,"status":4,"views":214,"subdate":215,"up_date":216,"first_name":217,"last_name":218,"avatar":13,"title_url":219,"cat_title":220,"subdate_jalali":221,"update_jalali":222},13422,1170,1171,4926,"تابع قدر مطلق و نقاط شکست",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlessE1KZ0wDpywX4HghH_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"تابع قدر مطلق و نقاط شکست: تحلیل مشتق‌ناپذیری و نقاط بحرانی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">تابع قدر مطلق و نقاط شکست: تحلیل جامع مشتق‌ناپذیری و نقاط بحرانی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی رفتار توابع دارای قدر مطلق مانند |x² − ۱| و شناسایی نقاطی که عبارت داخلی صفر می‌شود به عنوان نقاط بحرانی و مشتق‌ناپذیر\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">این مقاله به بررسی جامع توابع شامل قدر مطلق، با تأکید بر تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x^2 - 1|$\u003C\u002Fspan> می‌پردازد. نقاطی که عبارت داخل قدر مطلق صفر می‌شوند، تحت عنوان نقاط شکست یا نقاط بحرانی شناخته می‌شوند. در این مطلب، مفهوم مشتق‌ناپذیری، روش محاسبه مشتق توابع قدرمطلقی، شناسایی نقاط بحرانی و کاربردهای عملی آن‌ها در سطح دبیرستان ارائه می‌گردد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مفهوم تابع قدر مطلق و نقاط صفر عبارت داخلی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع قدر مطلق که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x|$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، خروجیِ غیرمنفی هر عدد حقیقی است. به زبان ساده، فاصلهٔ آن عدد تا صفر روی خط اعداد را نشان می‌دهد. برای توابع ترکیبی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|f(x)|$\u003C\u002Fspan>، رفتار تابع به ازای مقادیری که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) \\ge 0$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) \\lt 0$\u003C\u002Fspan> است، کاملاً متفاوت خواهد بود. \u003Cstrong>نقاط شکست\u003C\u002Fstrong> دقیقاً همان مقادیری از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> هستند که در آن‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) = 0$\u003C\u002Fspan> رخ می‌دهد. این نقاط مرز بین دو رفتار متفاوت تابع محسوب می‌شوند و اغلب منجر به ایجاد گوشه یا تیزی در نمودار تابع می‌گردند که نتیجهٔ آن، مشتق‌ناپذیری در آن نقطه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x^2 - 1|$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. ابتدا عبارت داخل قدر مطلق، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 1$\u003C\u002Fspan> را صفر قرار می‌دهیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 1 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 1$\u003C\u002Fspan>. بنابراین نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = 1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = -1$\u003C\u002Fspan> نقاط شکست این تابع هستند. در این نقاط، تابع از یک حالت (مثبت بودن عبارت داخلی) به حالت دیگر (منفی بودن عبارت داخلی) تغییر می‌کند و همین تغییر ناگهانی، باعث می‌شود شیب نمودار در دو سمت نقطه متفاوت باشد؛ در نتیجه تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر نخواهد بود مگر در شرایط خاص که شیب دو طرف برابر باشد (که در این مثال برابر نیست).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته کلیدی:\u003C\u002Fstrong> برای یافتن نقاط بحرانی توابع قدرمطلقی، ابتدا ریشه‌های عبارت داخل قدر مطلق را پیدا کنید. این ریشه‌ها کاندیدهای اصلی برای نقاط مشتق‌ناپذیر هستند. سپس با استفاده از تعریف مشتق یک‌طرفه، مشتق‌پذیری در آن نقاط را بررسی نمایید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">روش گام‌به‌گام محاسبه نقاط بحرانی در تابع |x² − ۱|\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای تحلیل کامل تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) = |x^2 - 1|$\u003C\u002Fspan>، مراحل زیر را به ترتیب دنبال می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>تعیین محدوده‌های علامت عبارت داخلی:\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 1$\u003C\u002Fspan> در بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-\\infty, -1)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1, +\\infty)$\u003C\u002Fspan> مثبت و در بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1, 1)$\u003C\u002Fspan> منفی است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>بازنویسی تابع بدون قدر مطلق:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) = \\begin{cases} x^2 - 1, & x \\le -1 \\text{ یا } x \\ge 1 \\\\ -(x^2 - 1) = 1 - x^2, & -1 \\lt x \\lt 1 \\end{cases}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>محاسبه مشتق در هر بازه (به جز نقاط شکست):\u003C\u002Fstrong> در بازه‌های اول و سوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x) = 2x$\u003C\u002Fspan> و در بازهٔ دوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x) = -2x$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>بررسی مشتق‌پذیری در نقاط شکست (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = \\pm 1$\u003C\u002Fspan>):\u003C\u002Fstrong> برای نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = 1$\u003C\u002Fspan>، مشتق چپ: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 1^-} f'(x) = \\lim_{x \\to 1^-} (-2x) = -2$\u003C\u002Fspan>، مشتق راست: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 1^+} f'(x) = \\lim_{x \\to 1^+} (2x) = 2$\u003C\u002Fspan>. از آنجا که مشتق چپ و راست برابر نیستند، تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = 1$\u003C\u002Fspan> مشتق‌پذیر نیست. همین وضعیت برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = -1$\u003C\u002Fspan> نیز برقرار است (مشتق چپ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-2$\u003C\u002Fspan> و راست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan>). بنابراین هر دو نقطه، نقاط مشتق‌ناپذیر و بحرانی هستند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه رفتار تابع در نواحی مختلف\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">بازه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عبارت داخلی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شکل تابع\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مشتق\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع رفتار\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\lt -1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثبت\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">صعودی (برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\lt -1$\u003C\u002Fspan> نزولی)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-1 \\lt x \\lt 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">منفی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1 - x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-2x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نزولی سپس صعودی (سهمی رو به پایین)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\gt 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثبت\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">صعودی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تحلیل نقاط بحرانی در مسائل بهینه‌سازی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم کمترین فاصلهٔ یک نقطهٔ متحرک روی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>ها تا دو نقطهٔ ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-1$\u003C\u002Fspan> روی خط اعداد را محاسبه کنیم. تابع فاصله به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$d(x) = |x - 1| + |x + 1|$\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود. برای یافتن نقاط مینیمم، ابتدا نقاط شکست (که همان نقاط صفر هر یک از عبارات قدر مطلق هستند) یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = 1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = -1$\u003C\u002Fspan> را مشخص می‌کنیم. با بررسی مشتق تابع (که خود به صورت تکه‌تکه تعریف می‌شود) در بازه‌های مختلف، به این نتیجه می‌رسیم که تابع در بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[-1, 1]$\u003C\u002Fspan> ثابت و برابر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> است. بنابراین تمام نقاط این بازه، نقاط مینیمم مطلق هستند و دو نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = \\pm 1$\u003C\u002Fspan> نقاط مرزی این بازه بوده و مشتق تابع در آن‌ها تعریف نشده است. این مثال به خوبی نشان می‌دهد که نقاط شکست قدر مطلق چگونه در مسائل بهینه‌سازی ظاهر می‌شوند و گاهی کل یک بازه را به نقاط بهینه تبدیل می‌کنند. همچنین در توابع هزینه، توابع خطا و الگوریتم‌های یادگیری ماشین، از قدر مطلق برای تعریف معیارهایی مانند خطای مطلق میانگین (MAE) استفاده می‌شود که نقاط شکست آن ناشی از صفر شدن اختلاف بین مقدار واقعی و پیش‌بینی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا هر نقطه‌ای که عبارت داخل قدر مطلق صفر می‌شود، حتماً نقطهٔ مشتق‌ناپذیر تابع است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: نه همیشه. اگر شیب تابع در دو طرف آن نقطه (مشتق چپ و راست) با هم برابر باشد، تابع در آن نقطه مشتق‌پذیر خواهد بود. به عنوان مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x^3|$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> مشتق‌پذیر است زیرا مشتق چپ و راست هر دو صفر هستند. بنابراین شرط لازم برای مشتق‌ناپذیری، نابرابری مشتقات یک‌طرفه است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. فرق بین «نقطه شکست» و «نقطه بحرانی» در توابع قدرمطلقی چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: نقطه شکست (Break point) به هر نقطه‌ای گفته می‌شود که عبارت داخل قدر مطلق در آن صفر شود. نقطه بحرانی (Critical point) شامل تمام نقاطی است که یا مشتق تابع در آن‌ها صفر است یا مشتق وجود ندارد (مشتق‌ناپذیر است). بنابراین، تمام نقاط شکست که مشتق‌ناپذیر باشند، نقاط بحرانی محسوب می‌شوند. اما اگر در نقطه شکست، تابع مشتق‌پذیر باشد (مانند مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x^3|$\u003C\u002Fspan>) آن نقطه هنوز یک نقطهٔ بحرانی است چون مشتق در آن نقطه صفر می‌شود. به عبارت دیگر، نقاط شکست زیرمجموعه‌ای از نقاط بحرانی هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. چگونه می‌توان بدون محاسبه مستقیم مشتق، نوع نقطهٔ شکست (بیشینه، کمینه یا نقطه زینی) را تشخیص داد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: با استفاده از آزمون تغییر علامت تابع یا مشتق اول در اطراف نقطه. اگر تابع در سمت راست نقطه افزایشی و در سمت چپ کاهشی باشد (یا برعکس) آن نقطه اکسترمم موضعی است. برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x^2 - 1|$\u003C\u002Fspan>، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>، تابع از حالت نزولی (قبل از نقطه) به صعودی (بعد از نقطه) تغییر می‌کند، بنابراین مینیمم موضعی است. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-1$\u003C\u002Fspan> نیز همین وضعیت رخ می‌دهد. در توابع پیچیده‌تر، می‌توان از تغییر علامت خود تابع یا مشتق دوم (در صورت وجود) استفاده کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> توابع شامل قدر مطلق، به دلیل تغییر رفتار در نقاط صفر عبارت داخلی، اغلب دارای نقاط مشتق‌ناپذیر و بحرانی هستند. نقاط شکست که از معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=0$\u003C\u002Fspan> به دست می‌آیند، کاندیدهای اصلی برای این رفتارها هستند. با بازنویسی تابع به صورت تکه‌تکه و محاسبه مشتقات یک‌طرفه در این نقاط، می‌توان مشتق‌پذیری یا عدم مشتق‌پذیری را اثبات کرد. درک این نقاط برای تحلیل نمودار، یافتن اکسترمم‌ها و حل مسائل بهینه‌سازی در ریاضیات دبیرستان و کاربردهای پیشرفته‌تر ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> قدر مطلق (Absolute Value): تابعی که هر عدد حقیقی را به فاصلهٔ آن عدد از صفر نگاشت می‌کند و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x|$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> نقطه شکست (Break Point): نقطه‌ای که در آن عبارت داخل قدر مطلق برابر صفر می‌شود و رفتار تابع تغییر می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> نقطه بحرانی (Critical Point): نقطه‌ای در دامنهٔ تابع که یا مشتق تابع در آن صفر است یا مشتق وجود ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> مشتق یک‌طرفه (One-sided Derivative): حد چپ یا راست ضریب تفاضلی تابع در یک نقطه که برای بررسی مشتق‌پذیری در نقاط مرزی یا نقاط شکست استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> خطای مطلق میانگین (Mean Absolute Error - MAE): معیاری در آمار و یادگیری ماشین برای اندازه‌گیری میانگین قدر مطلق خطاهای پیش‌بینی که در نقاط صفر خطا، مشتق‌ناپذیر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,211,212],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","تابع قدر مطلق","نقاط شکست",0,373,"2026-05-13 00:40:59","2026-09-10 02:47:57","سحر","شیرزاد","تابع-قدر-مطلق-و-نقاط-شکست","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","2:47 1405\u002F06\u002F19",{"tests":224,"papers":225,"files":226,"questions":227,"exams":228,"tutorials":229,"blogs":230},[],[],[],[],[],[],[231,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312,320],{"id":232,"title":233,"cat":205,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":220,"update_jalali":239},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":241,"title":242,"cat":205,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":220,"update_jalali":239},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":249,"title":250,"cat":205,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":220,"update_jalali":239},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":205,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":220,"update_jalali":239},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":265,"title":266,"cat":205,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":220,"update_jalali":239},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":273,"title":274,"cat":205,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":220,"update_jalali":239},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":281,"title":282,"cat":205,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":220,"update_jalali":239},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":289,"title":290,"cat":205,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":220,"update_jalali":239},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":297,"title":298,"cat":205,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":220,"update_jalali":239},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":305,"title":306,"cat":205,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":220,"update_jalali":239},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":313,"title":314,"cat":205,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":220,"update_jalali":239},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":321,"title":322,"cat":205,"pic":323,"up_date":324,"title_url":325,"url":326,"legacy_url":327,"cat_title":220,"update_jalali":239},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]