اعداد متوالی (اعداد پشتسرهم با فاصله ۱)
۱. تعریف پایه و نمایش جبری اعداد متوالی
اعداد متوالی1 به مجموعهای از اعداد صحیح2 گفته میشود که هر عدد، دقیقاً یک واحد از عدد قبلی خود بزرگتر باشد. سادهترین نمونه، دنباله ... , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- است. اگر عدد نخست را با $n$ نشان دهیم، آنگاه $k$ عدد صحیح متوالی به صورت زیر نوشته میشوند:
مثال ۱ سه عدد صحیح متوالی که از $5-$ شروع شوند: $-5 , -4 , -3$.
مثال ۲ چهار عدد متوالی فرد یا زوج نیستند؛ بلکه میتوانند هر عدد صحیحی باشند. برای نمونه $10 , 11 , 12 , 13$ چهار عدد متوالی هستند.
۲. فرمول مجموع و میانگین در اعداد متوالی
برای $k$ عدد صحیح متوالی که از $a$ شروع میشوند، مجموع آنها برابر است با:
این فرمول حاصل جمع تصاعد حسابی با قدر نسبت $1$ است. میانگین این اعداد نیز به سادگی از تقسیم مجموع بر تعداد به دست میآید:
نکته جالب: میانگین اعداد متوالی همیشه با میانه آنها برابر است و میانه همان عدد وسط در صورتی که $k$ فرد باشد، یا میانگین دو عدد میانی در حالت $k$ زوج خواهد بود.
۳. جدول ویژگیهای اعداد متوالی در حالتهای فرد و زوج
| ویژگی | تعداد فرد (مثال: ۳ عدد متوالی) | تعداد زوج (مثال: ۴ عدد متوالی) |
|---|---|---|
| عدد وسط | عددی صحیح و برابر میانگین | وجود ندارد (دو عدد میانی) |
| میانگین | همیشه عدد صحیح | عددی با یکدهم ($.5$) |
| مجموع | مضرب فردِ تعداد | مضرب زوجِ تعداد تقسیم بر ۲ |
۴. کاربرد عملی: حل مسئله با استفاده از اعداد متوالی
یک کاربرد رایج در کتابهای دبیرستان، مسائل مربوط به سن، شماره صفحات کتاب، یا مجموع نمرات متوالی است. برای نمونه فرض کنید مجموع سن سه برادر که سنشان اعداد صحیح متوالی است برابر $60$ سال باشد. با قرار دادن سن کوچکترین برادر $x$، معادله $x+(x+1)+(x+2)=60$ ⇒ $3x+3=60$ ⇒ $3x=57$ ⇒ $x=19$ به دست میآید. سنها $19,20,21$ خواهد بود.
روش جایگزین برای مسائلی که مجموع و تعداد داده شده، میتوان از میانگین استفاده کرد. میانگین سه عدد برابر $20$ است که همان عدد وسط است. بنابراین اعداد به ترتیب $19,20,21$ هستند.
۵. چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. اعدادی که توانی از $2$ هستند (مانند $2,4,8,16$) را نمیتوان به صورت مجموع دو یا چند عدد صحیح متوالی غیرمنفی نوشت، زیرا عوامل فرد ندارند.
پاسخ: حاصل ضرب $n(n+1)$ همیشه زوج است و یک شمارندهٔ اول کوچکتر یا مساوی $n+1$ دارد. همچنین این حاصل ضرب هرگز مربع کامل نیست (به جز $0$).
پاسخ:$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=50 \Rightarrow 4n=44 \Rightarrow n=11$. بله، اعداد $11,12,13,14$ هستند. مجموعهای زوج مانند $4n+6$ همیشه وقتی $n$ صحیح باشد، جواب دارد.
۶. تمرینهای حلشده گامبهگام
تمرین ۱ مجموع پنج عدد متوالی برابر $65$ است. کوچکترین عدد را بیابید.
حل:$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4) = 5n+10 = 65 \Rightarrow 5n=55 \Rightarrow n=11$.
تمرین ۲ دو عدد متوالی پیدا کنید که مجموع آنها با حاصل ضربشان برابر $71$ شود.
حل:$n+(n+1)+n(n+1)=71 \Rightarrow 2n+1+n^2+n=71 \Rightarrow n^2+3n-70=0$. ریشهها: $n=7$ و $n=-10$. بنابراین دو جواب: $(7,8)$ یا $(-10,-9)$.
جمعبندی
پاورقی
1 اعداد متوالی (Consecutive Numbers): دنبالهای از اعداد صحیح که هر جمله با اضافه شدن ۱ به جمله قبلی به دست میآید.
2 اعداد صحیح (Integers): مجموعه اعداد ... , $2- , 1- , 0 , 1 , 2$ که شامل اعداد مثبت، منفی و صفر میشود.
