[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-12170":3,"categoryMenus":29,"$fq5ve1sjki3wx":222},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"title_url":25,"cat_title":26,"subdate_jalali":27,"update_jalali":28},12170,67,1170,1171,4925,"خاصیت دترمینان ضرب ماتریس‌ها: برای ماتریس‌های قابل‌ضرب، معمولاً رابطه |AB|=|A||B| بررسی و استفاده می‌شود.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTjHqB2uWDKzRVvF52MZc_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"خاصیت دترمینان ضرب ماتریس‌ها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">خاصیت دترمینان ضرب ماتریس‌ها: بررسی رابطه |AB| = |A||B|\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">درک عملی از چگونگی تأثیر ضرب ماتریس بر دترمینان، همراه با مثال‌های گام‌به‌گام برای دانش‌آموزان دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">دترمینان یک عدد ویژه است که از درون ماتریس‌های مربعی به دست می‌آید. در این مقاله، مهم‌ترین ویژگی دترمینان یعنی رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |A||B| $\u003C\u002Fspan> را بررسی می‌کنیم. با استفاده از مثال‌های عددی و گام‌های گام‌به‌گام، نشان می‌دهیم که چرا دترمینان حاصل‌ضرب دو ماتریس برابر است با حاصل‌ضرب دترمینان‌های آن‌ها. همچنین کاربرد این خاصیت در حل دستگاه معادلات خطی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> و وارون‌پذیری\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> ماتریس‌ها توضیح داده می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">دترمینان چیست و چرا اهمیت دارد؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>دترمینان یک مقدار عددی است که فقط برای ماتریس‌های مربعی (با تعداد سطر و ستون برابر) تعریف می‌شود. این عدد به ما اطلاعات مهمی درباره ماتریس می‌دهد، از جمله:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>آیا ماتریس وارون‌پذیر است یا نه (اگر دترمینان صفر باشد، ماتریس وارون‌پذیر نیست).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مساحت یا حجم تبدیل‌شده توسط ماتریس چقدر تغییر می‌کند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>جواب دستگاه معادلات خطی منحصربه‌فرد است یا خیر.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>برای یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 \\times 2 $\u003C\u002Fspan> مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A = \\begin{bmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{bmatrix} $\u003C\u002Fspan>، دترمینان به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A| = ad - bc $\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، روش‌هایی مانند بسط لاپلاس\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> یا تبدیل به ماتریس مثلثی وجود دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بیان و اثبات رابطه |AB| = |A||B|\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از زیباترین و پرکاربردترین ویژگی‌های دترمینان، رابطه زیر است که برای هر دو ماتریس مربعی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> با ابعاد یکسان برقرار است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ |AB| = |A| \\cdot |B| $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عبارت دیگر، دترمینان حاصل‌ضرب دو ماتریس برابر است با حاصل‌ضرب دترمینان هر یک از آن‌ها. این ویژگی مستقل از مرتبه ماتریس‌ها (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 \\times 2 $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 \\times 3 $\u003C\u002Fspan> یا بالاتر) برقرار است، به شرطی که ماتریس‌ها مربعی و قابل ضرب باشند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چرا این رابطه درست است؟\u003C\u002Fstrong> دلیل اصلی به ماهیت دترمینان به عنوان یک تابع چندخطی\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> و پادمتقارن\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> برمی‌گردد. در سطح دبیرستان، می‌توان با محاسبه مستقیم برای ماتریس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 \\times 2 $\u003C\u002Fspan> این ویژگی را تأیید کرد. همچنین اگر یکی از ماتریس‌ها وارون‌پذیر باشد، می‌توان از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A = (AB)B^{-1} $\u003C\u002Fspan> استفاده کرد، اما اثبات کامل نیاز به مفاهیم پیشرفته‌تری دارد که در این مقاله از حیطه بحث خارج است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بررسی با مثال‌های گام‌به‌گام برای ماتریس‌های ۲ در ۲\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید دو ماتریس زیر را داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A = \\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\\ 3 & 4 \\end{bmatrix} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B = \\begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ -1 & 2 \\end{bmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> ابتدا دترمینان هر ماتریس را جداگانه حساب می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A| = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |B| = (1)(2) - (0)(-1) = 2 - 0 = 2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>سپس حاصل‌ضرب آن‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A| \\cdot |B| = 5 \\times 2 = 10 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong> حالا ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB $\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB = \\begin{bmatrix} (2)(1)+(1)(-1) & (2)(0)+(1)(2) \\\\ (3)(1)+(4)(-1) & (3)(0)+(4)(2) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 2-1 & 0+2 \\\\ 3-4 & 0+8 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ -1 & 8 \\end{bmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> دترمینان ماتریس حاصل‌ضرب را حساب می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = (1)(8) - (2)(-1) = 8 + 2 = 10 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>همان‌طور که می‌بینید، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = 10 $\u003C\u002Fspan> دقیقاً برابر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A||B| = 10 $\u003C\u002Fspan> است. این مثال ساده نشان می‌دهد که رابطه به درستی کار می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه نتایج گام‌های محاسبه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مرحله محاسبه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار به دست آمده\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حاصل‌ضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|A||B|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$10$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$AB$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 8\\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|AB|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$10$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی در بررسی وارون‌پذیری ماتریس‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از مهم‌ترین کاربردهای این خاصیت، تشخیص سریع وارون‌پذیری حاصل‌ضرب ماتریس‌ها است. می‌دانیم که یک ماتریس مربعی وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر دترمینان آن ناصفر باشد. حال با استفاده از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |A||B| $\u003C\u002Fspan> نتیجه می‌گیریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ |AB| \\neq 0 \\quad \\text{اگر و فقط اگر} \\quad |A| \\neq 0 \\ \\text{و} \\ |B| \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>یعنی حاصل‌ضرب دو ماتریس وارون‌پذیر است تنها زمانی که هر دو ماتریس جداگانه وارون‌پذیر باشند. این قضیه در حل دستگاه معادلات خطی بسیار مفید است. برای مثال، اگر دستگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (AB)X = C $\u003C\u002Fspan> را داشته باشیم، می‌توانیم به جای محاسبه مستقیم وارون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB $\u003C\u002Fspan>، از وارون‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> استفاده کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ X = B^{-1} A^{-1} C $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید در یک مسئله فیزیک، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> نشان‌دهنده یک چرخش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 90 $\u003C\u002Fspan> درجه و ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> نشان‌دهنده یک مقیاس‌گذاری دو برابری است. با استفاده از خاصیت دترمینان می‌توان فهمید که ترکیب این دو تبدیل، مساحت اشکال را چه اندازه تغییر می‌دهد. دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan> (چرخش مساحت را حفظ می‌کند) و دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 4 $\u003C\u002Fspan> (زیرا هر بعد دو برابر می‌شود و مساحت چهار برابر می‌گردد) است. بنابراین دترمینان کل برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 \\times 4 = 4 $\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱) آیا رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |A||B| $\u003C\u002Fspan> برای ماتریس‌های غیرمربعی هم برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. دترمینان فقط برای ماتریس‌های مربعی تعریف می‌شود. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> غیرمربعی باشند، حاصل‌ضرب آن‌ها ممکن است مربعی شود، اما خود ماتریس‌های اولیه دترمینان ندارند، بنابراین رابطه قابل استفاده نیست.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲) آیا ترتیب ضرب ماتریس‌ها در این رابطه تأثیر دارد؟ یعنی آیا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |BA| $\u003C\u002Fspan> همیشه برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، چون دترمینان یک عدد است و اعداد در ضرب جابه‌جا می‌شوند. از رابطه اصلی داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |A||B| = |B||A| = |BA| $\u003C\u002Fspan>. بنابراین همیشه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = |BA| $\u003C\u002Fspan>، حتی اگر خود ماتریس‌ها با هم جابه‌جا نشوند (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB \\neq BA $\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳) اگر دترمینان یکی از ماتریس‌ها صفر باشد، چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A| = 0 $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |B| = 0 $\u003C\u002Fspan>، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |AB| = 0 \\times |B| = 0 $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |A| \\times 0 = 0 $\u003C\u002Fspan>. بنابراین حاصل‌ضرب دو ماتریس هنگامی وارون‌پذیر است که هر دو ماتریس وارون‌پذیر باشند. حتی اگر فقط یکی از آن‌ها وارون‌ناپذیر باشد، کل حاصل‌ضرب وارون‌ناپذیر خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان دادیم که برای هر دو ماتریس مربعی هم‌بعد، دترمینان حاصل‌ضرب برابر است با حاصل‌ضرب دترمینان‌ها. این ویژگی به ما امکان می‌دهد بدون محاسبه مستقیم حاصل‌ضرب (به‌ویژه برای ماتریس‌های بزرگ) مقدار دترمینان را به دست آوریم. همچنین دیدیم که این رابطه در تعیین وارون‌پذیری حاصل‌ضرب ماتریس‌ها نقشی کلیدی دارد. با تمرین مثال‌های عددی و درک منطق پشت این خاصیت، می‌توانید از آن در مسائل پیشرفته‌تر جبر خطی و کاربردهای مهندسی استفاده کنید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> دستگاه معادلات خطی (System of Linear Equations): مجموعه‌ای از معادلات که هر کدام به صورت خطی از متغیرها هستند و جواب مشترک آن‌ها خواسته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> وارون‌پذیری (Invertibility): خاصیت یک ماتریس که ماتریس دیگری مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A^{-1} $\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد به طوری که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A A^{-1} = A^{-1} A = I $\u003C\u002Fspan> ( ماتریس همانی).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بسط لاپلاس (Laplace Expansion): روشی برای محاسبه دترمینان ماتریس‌های بزرگ با استفاده از ترکیب خطی دترمینان‌های ماتریس‌های کوچک‌تر.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> تابع چندخطی (Multilinear Function): تابعی که نسبت به هر سطر ماتریس به طور جداگانه خطی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> پادمتقارن (Antisymmetric): تابعی که با جابه‌جایی دو سطر، علامت آن معکوس می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","خاصیت دترمینان ضرب ماتریس‌ها",0,1,412,"2026-04-21 12:17:45","2026-08-22 15:08:17","سحر","شیرزاد","خاصیت-دترمینان-ضرب-ماتریسها-برای-ماتریسهای-قابلضرب-معمولا-رابطه-ABAB-بررسی-و-استفاده-میشود","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F1","15:08 1405\u002F05\u002F31",{"status":19,"data":30},[31,70,130,148,168],{"id":19,"title":32,"list_order":19,"items":33},"آشنایی",[34,39,43,47,54,58,62,66],{"id":35,"link":36,"type":37,"slug":12,"title":38},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":40,"link":41,"type":37,"slug":12,"title":42},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":44,"link":45,"type":37,"slug":12,"title":46},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":48,"link":49,"type":50,"slug":51,"handler":52,"title":53},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":55,"link":56,"type":37,"slug":12,"title":57},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":59,"link":60,"type":37,"slug":12,"title":61},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":63,"link":64,"type":37,"slug":12,"title":65},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":67,"link":68,"type":37,"slug":12,"title":69},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":71,"title":72,"list_order":19,"items":73},2,"المپیادها",[74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114,118,122,126],{"id":75,"link":76,"type":37,"slug":12,"title":77},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":79,"link":80,"type":37,"slug":12,"title":81},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":83,"link":84,"type":37,"slug":12,"title":85},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":87,"link":88,"type":37,"slug":12,"title":89},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":91,"link":92,"type":37,"slug":12,"title":93},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":95,"link":96,"type":37,"slug":12,"title":97},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":99,"link":100,"type":37,"slug":12,"title":101},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":103,"link":104,"type":37,"slug":12,"title":105},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":107,"link":108,"type":37,"slug":12,"title":109},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":111,"link":112,"type":37,"slug":12,"title":113},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":115,"link":116,"type":37,"slug":12,"title":117},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":119,"link":120,"type":37,"slug":12,"title":121},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":123,"link":124,"type":37,"slug":12,"title":125},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":127,"link":128,"type":37,"slug":12,"title":129},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":131,"title":132,"list_order":19,"items":133},3,"نمونه و تیزهوشان",[134,138,143],{"id":135,"link":136,"type":37,"slug":12,"title":137},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":139,"link":140,"type":50,"slug":141,"handler":141,"title":142},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":144,"link":145,"type":50,"slug":146,"handler":146,"title":147},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":149,"title":150,"list_order":19,"items":151},7,"کتابهای درسی",[152,156,160,164],{"id":153,"link":154,"type":37,"slug":12,"title":155},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":157,"link":158,"type":37,"slug":12,"title":159},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":161,"link":162,"type":37,"slug":12,"title":163},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":165,"link":166,"type":37,"slug":12,"title":167},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":35,"title":169,"list_order":35,"items":170},"پیشنهاد ویژه",[171,176,181,186,191,196,201,204,208,212,216],{"id":172,"link":173,"type":50,"slug":174,"handler":174,"title":175},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":177,"link":178,"type":50,"slug":179,"handler":179,"title":180},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":182,"link":183,"type":50,"slug":184,"handler":184,"title":185},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":187,"link":188,"type":50,"slug":189,"handler":189,"title":190},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":192,"link":193,"type":50,"slug":194,"handler":194,"title":195},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":197,"link":198,"type":37,"slug":199,"title":200},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":202,"type":37,"slug":12,"title":203},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":205,"link":206,"type":37,"slug":12,"title":207},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":209,"link":210,"type":37,"slug":12,"title":211},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":213,"link":214,"type":37,"slug":12,"title":215},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":217,"link":218,"type":219,"slug":220,"title":221},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,264,272,280,288,296,304,312,320],{"id":231,"title":232,"cat":10,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":26,"update_jalali":238},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":240,"title":241,"cat":10,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":26,"update_jalali":238},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":248,"title":249,"cat":10,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":26,"update_jalali":238},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":256,"title":257,"cat":10,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":26,"update_jalali":263},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":265,"title":266,"cat":10,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":26,"update_jalali":263},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":273,"title":274,"cat":10,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":26,"update_jalali":263},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":281,"title":282,"cat":10,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":26,"update_jalali":263},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":289,"title":290,"cat":10,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":26,"update_jalali":263},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":10,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":26,"update_jalali":263},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":305,"title":306,"cat":10,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":26,"update_jalali":263},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":313,"title":314,"cat":10,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":26,"update_jalali":263},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":321,"title":322,"cat":10,"pic":323,"up_date":324,"title_url":325,"url":326,"legacy_url":327,"cat_title":26,"update_jalali":263},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]